Differenziabilità e formula del gradiente
Buongiorno, vi chiedo aiuto perché mi stanno venendo un sacco di dubbi.
Devo preparare degli esercizi per i miei studenti di analisi 2 (solo in veste di tutore) e non posso presentarmi con queste lacune.
In particolare, nel libro di esercizi che mi ha dato il prof, ci sono alcune cose che non mi sono chiare.
Innanzitutto, io sapevo che se una funzione è differenziabile vale la formula del gradiente per le derivate direzionali.
Tuttavia la formula può valere anche se non è differenziabile (NON è quindi un'implicazione doppia).
Tuttavia in un esercizio si verifica che una funzione non è differenziabile, e il libro asserisce che QUINDI non è possibile utilizzare la formula del gradiente. Eh?? Non mi è molto chiara questa l'implicazione.
E questo è il primo dubbio.
Il secondo dubbio è: devo verificare la differenziabilità, quindi come condizione necessaria e sufficiente basta verificare che il limite della differenza tra la funzione e l'approssimazione lineare diviso la norma tende a 0, e mi sta bene. Tuttavia bisogna calcolare le derivate parziali. Una funzione è differenziabile anche se le derivate parziali sono discontinue: come è possibile? A parte il fatto che non riesco nemmeno a visualizzarlo, quando calcolo il limite devo supporre che in qualsiasi direzione io vada la mia derivata parziale farà sempre lo stesso in quella direzione, no?.
Grazie in anticipo
Devo preparare degli esercizi per i miei studenti di analisi 2 (solo in veste di tutore) e non posso presentarmi con queste lacune.
In particolare, nel libro di esercizi che mi ha dato il prof, ci sono alcune cose che non mi sono chiare.
Innanzitutto, io sapevo che se una funzione è differenziabile vale la formula del gradiente per le derivate direzionali.
Tuttavia la formula può valere anche se non è differenziabile (NON è quindi un'implicazione doppia).
Tuttavia in un esercizio si verifica che una funzione non è differenziabile, e il libro asserisce che QUINDI non è possibile utilizzare la formula del gradiente. Eh?? Non mi è molto chiara questa l'implicazione.
E questo è il primo dubbio.
Il secondo dubbio è: devo verificare la differenziabilità, quindi come condizione necessaria e sufficiente basta verificare che il limite della differenza tra la funzione e l'approssimazione lineare diviso la norma tende a 0, e mi sta bene. Tuttavia bisogna calcolare le derivate parziali. Una funzione è differenziabile anche se le derivate parziali sono discontinue: come è possibile? A parte il fatto che non riesco nemmeno a visualizzarlo, quando calcolo il limite devo supporre che in qualsiasi direzione io vada la mia derivata parziale farà sempre lo stesso in quella direzione, no?.
Grazie in anticipo
Risposte
In merito al secondo dubbio - Perdonami , ma condizione sufficiente per la differenziabilità è proprio la continuità delle derivate prime della funzione da cui parti , ma non è necessaria per tale motivo puoi ritrovarti nella condizione da te sopra descritta !
".Basta interpretare un po' quello che vuole dire il libro: siccome la funzione non è differenziabile, non c'è automaticamente accesso alla regola del gradiente. Poi essa può valere come può non valere. Ma non ti consiglio di mettere troppo l'accento su questo, la regola del gradiente è strettamente collegata alla differenziabilità e senza di essa non ha molta utilità invocarla. Questo perché il gradiente stesso è la versione vettoriale del differenziale: può capitare che il differenziale non esista e il vettore delle derivate parziali si, ma si tratta di un caso patologico in cui tale vettore non ha proprio piena dignità di chiamarsi "gradiente".hoenix:.":
Innanzitutto, io sapevo che se una funzione è differenziabile vale la formula del gradiente per le derivate direzionali.
Tuttavia la formula può valere anche se non è differenziabile (NON è quindi un'implicazione doppia).
Tuttavia in un esercizio si verifica che una funzione non è differenziabile, e il libro asserisce che QUINDI non è possibile utilizzare la formula del gradiente. Eh?? Non mi è molto chiara questa l'implicazione.
E questo è il primo dubbio.
Il secondo dubbio è: devo verificare la differenziabilità, quindi come condizione necessaria e sufficiente basta verificare che il limite della differenza tra la funzione e l'approssimazione lineare diviso la norma tende a 0, e mi sta bene. Tuttavia bisogna calcolare le derivate parziali. Una funzione è differenziabile anche se le derivate parziali sono discontinue: come è possibile? A parte il fatto che non riesco nemmeno a visualizzarlo, quando calcolo il limite devo supporre che in qualsiasi direzione io vada la mia derivata parziale farà sempre lo stesso in quella direzione, no?.
Classico esempio:
\[f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x\ne 0 \\ 0 & x=0\end{cases}\]
Si tratta di una funzione \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) differenziabile ma con differenziale discontinuo. Anche qua, sono casi patologici. Il calcolo differenziale si fa di solito in ipotesi di regolarità: funzioni di classe \(C^1\) tranne al più in qualche punto singolare isolato. Al massimo le singolarità formano una o più linee e si studiano a parte. Sconsiglierei di confondere i ragazzi puntando troppo su questi dettagli tecnici. Menzionarli, sì, ma perderci tempo su no.
Ok, vi ringrazio tantissimo 
Ciao!
Ciao!
Di nulla !
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