DIFFERENZIABILITA' E DUBBI

[Gil-Galad]

Salve
Perplessità:
un esercizio mi chiede di studiare la differenziabilità della funzione
$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ $se$ $(x,y)=(0,0)$
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $0$ $se$ $(x,y)=(0,0)$

ho calcolato che:
$\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2}$ $se$ $xy \ne 0$
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $0$ $se$ $x\ne0$ $e$ $ y=0$
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $0$ $se$ $x=0$ $e$ $y\ne0$
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $0$ $se$ $x=y=0$

per studiare la differenziabilità stavo pensando di usare il teorema del differenziale totale e studiare la continuità delle derivate parziali, in particolare di quella rispetto a $x$.
Ora, ad esempio sull'asse $x$ senza origine la derivata parziale rispetto x è nulla quindi posso dire che sull'asse $x$ senza l'origine $\frac{\partial f}{\partial x}$ è continua perchè è la funzione identicamente nulla sull'asse x senza origine?????

[billyballo2123]

Dunque:
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=
\left\{
\begin{matrix}
\frac{y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2} & \text{se } (x,y)\neq (0,0) \\
0 & \text{se } (x,y)= (0,0)
\end{matrix}
\right.
,
\]
da cui puoi dedurre che $f_x$ è continua in $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$.
Comunque non ti serve calcolare nessuna derivata! Infatti $f$ è differenziabile in $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ in quanto composizione di funzioni differenziabili, mentre nell'origine non è continua, e di conseguenza nemmeno differenziabile.
Per vedere che non è continua nell'origine, prova a calcolare
\[
\lim_{t\to 0}f(t,t),
\]
e vedrai che il risultato non sarà $f(0,0)$