Differenziabilità e derivate parziali
Sappiamo che perchè una funzione sia differenziabile di ordine k, occorre che le derivate parziali di ordine k esistano e siano continue,
Supponiamo però di voler rinunciare all'ipotesi di continuità; in cambio però, vi dò l'esistenza delle derivate parziali di ordine k+c, per un certo c da determinare e per tutti i k (in altre parole, intendo barattare l'ipotesi di continuità con l'esistenza di derivate parziali di ordine piu alto).
In questo caso, posso derivare la differenziabilità?
Formalizzo la mia domanda in una proposizione ben formata:
Sia f una funzione $\mathbb R^n\mapsto \mathbb R^n$. Supponiamo che esistano derivate parziali di ordine k+c per ogni naturale k e per un qualche naturale c da determinare. Allora f è di classe $C^k$
Il punto in cui mi piacerebbe arrivare si otterrebbe da tale proposizione per $k,c$ tendenti a $\infty$: esistano tutte le derivate parziali $\Rightarrow$ f è $C^\infty$
Supponiamo però di voler rinunciare all'ipotesi di continuità; in cambio però, vi dò l'esistenza delle derivate parziali di ordine k+c, per un certo c da determinare e per tutti i k (in altre parole, intendo barattare l'ipotesi di continuità con l'esistenza di derivate parziali di ordine piu alto).
In questo caso, posso derivare la differenziabilità?
Formalizzo la mia domanda in una proposizione ben formata:
Sia f una funzione $\mathbb R^n\mapsto \mathbb R^n$. Supponiamo che esistano derivate parziali di ordine k+c per ogni naturale k e per un qualche naturale c da determinare. Allora f è di classe $C^k$
Il punto in cui mi piacerebbe arrivare si otterrebbe da tale proposizione per $k,c$ tendenti a $\infty$: esistano tutte le derivate parziali $\Rightarrow$ f è $C^\infty$
Risposte
Temo sia falso: https://math.stackexchange.com/question ... ves-of-all.
Quello che è vero (l'avevo scritto in un post che ho cancellato) è che \( f \) ammette tutte le derivate parziali non necessariamente continue ma per un certo \( k + 1 \) le derivate parziali di quell'ordine sono continue, allora anche quelle di ordine \( k \) lo sono. Sarebbe da dimostrare per induzione ma che palle [1]. Comunque l'idea è che siccome le
\[
\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}}\right),\quad\cdots,\quad\frac{\partial}{\partial x_n}\left(\frac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}}\right)
\] sono tutte continue, allora le
\[
\frac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}}
\] sono tutte \( C^1 \) e quindi continue.
[1] La frase \( f \) ha tutte le derivate parziali (continue) fino all'ordine \( k \) significa, più formalmente, che \( f \) ha tutte le derivate parziali \( \partial f/\partial x_j \) per \( j = 1,\dots,n \), e che ciascuna \( \partial f/\partial x_j \) ha tutte le derivate parziali (continue) di ordine \( k - 1 \). Una dimostrazione migliore (ma non so se sei pratico a vedere le cose in questa maniera) è questa: se \( f \) c'ha tutte le derivate parziali continue fino a \( k + 1 \) allora è \( k + 1 \) volte differenziabile (con continuità), dove ciò praticamente per definizione vuol dire che \( f \) è differenziabile e che \( df \) è di classe \( C^k \). E siccome
\[
\frac{\partial f^k}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}}(a) = d^kf(a)(e_{j_1},\dots,e_{j_k})
\] per ogni \( a\in A \) e cioè
\[
\frac{\partial f^k}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}} = \mathrm{ev}_{(e_{j_1},\dots,e_{j_k})}\circ d^kf
\] dove \( \mathrm{ev}_{(e_{j_1},\dots,e_{j_k})} \) è il morfismo (\( k \)-lineare, e quindi \( C^\infty \)) di valutazione in \( (e_{j_1},\dots,e_{j_k}) \), allora quelle robe là sono tutte continue.
Quello che è vero (l'avevo scritto in un post che ho cancellato) è che \( f \) ammette tutte le derivate parziali non necessariamente continue ma per un certo \( k + 1 \) le derivate parziali di quell'ordine sono continue, allora anche quelle di ordine \( k \) lo sono. Sarebbe da dimostrare per induzione ma che palle [1]. Comunque l'idea è che siccome le
\[
\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}}\right),\quad\cdots,\quad\frac{\partial}{\partial x_n}\left(\frac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}}\right)
\] sono tutte continue, allora le
\[
\frac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}}
\] sono tutte \( C^1 \) e quindi continue.
[1] La frase \( f \) ha tutte le derivate parziali (continue) fino all'ordine \( k \) significa, più formalmente, che \( f \) ha tutte le derivate parziali \( \partial f/\partial x_j \) per \( j = 1,\dots,n \), e che ciascuna \( \partial f/\partial x_j \) ha tutte le derivate parziali (continue) di ordine \( k - 1 \). Una dimostrazione migliore (ma non so se sei pratico a vedere le cose in questa maniera) è questa: se \( f \) c'ha tutte le derivate parziali continue fino a \( k + 1 \) allora è \( k + 1 \) volte differenziabile (con continuità), dove ciò praticamente per definizione vuol dire che \( f \) è differenziabile e che \( df \) è di classe \( C^k \). E siccome
\[
\frac{\partial f^k}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}}(a) = d^kf(a)(e_{j_1},\dots,e_{j_k})
\] per ogni \( a\in A \) e cioè
\[
\frac{\partial f^k}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}} = \mathrm{ev}_{(e_{j_1},\dots,e_{j_k})}\circ d^kf
\] dove \( \mathrm{ev}_{(e_{j_1},\dots,e_{j_k})} \) è il morfismo (\( k \)-lineare, e quindi \( C^\infty \)) di valutazione in \( (e_{j_1},\dots,e_{j_k}) \), allora quelle robe là sono tutte continue.
Qui una versione minimalista del teorema del differenziale totale (pagina 2, in fondo): http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Table ... 8_L007.pdf
In qualche modo, la continuità devi chiederla, perché stai comunque considerando dei limiti (ovvero le derivate) e vuoi che tali limiti "si comportino bene".
Senza chiedere la continuità (che è una ipotesi moolto debole, in realtà), non vai troppo lontano
In qualche modo, la continuità devi chiederla, perché stai comunque considerando dei limiti (ovvero le derivate) e vuoi che tali limiti "si comportino bene".
Senza chiedere la continuità (che è una ipotesi moolto debole, in realtà), non vai troppo lontano
"FibratoTangente":
Sappiamo che perchè una funzione sia differenziabile di ordine k, occorre che le derivate parziali di ordine k esistano e siano continue,
...
Ehm, no.
Cfr. ad esempio:
https://mathinsight.org/differentiable_ ... erivatives
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