Differenziabilità e Derivate parziali

[Flamber]

Ciao a tutti, ho un dubbio riguardo un teorema che ho trovato su un libro. Si parla di condizioni di differenziabilità e c'è un esempio. La funzione è discontinua nell'origine, dove viene prolungata per continuità:

$f(x,y)={((x^2y)/(x^2+y^2), (x,y)!=(0,0)),(0,(x,y)=(0,0)):}$

Il libro specifica che la funzione è identicamente nulla sugli assi x ed y, e quindi anche le derivate direzionali sono nulle.
La funzione però non è differenziabile nell'origine, perchè non esiste un piano tangente.

Nel paragrafo successivo c'è il teorema:

Se $f(x,y)$ ammette derivate parziali continue in un intorno di $(x_0,y_0)$, allora è differenziabile in $(x_0,y_0)$

Questo sembra contraddire quanto visto nell'esempio, dove le derivate parziali sono nulle ( e quindi continue). Dove sbaglio?

[gugo82]

Cosa significa “in un intorno di $(x_0,y_0)$”?

[DeltaEpsilon]

"Flamber":
Se $f(x,y)$ ammette derivate parziali continue in un intorno di $(x_0,y_0)$, allora è differenziabile in $(x_0,y_0)$

Questo sembra contraddire quanto visto nell'esempio, dove le derivate parziali sono nulle ( e quindi continue). Dove sbaglio?

Hai controllato la continuità delle derivate parziali in $(x_0,y_0)$ o ti sei limitato a valutare la derivabilità in $(x_0,y_0)$?

[Flamber]

"gugo82":Cosa significa “in un intorno di $(x_0,y_0)$”?

Essendo in $RR^2$, vuol dire essenzialmente un cerchio senza bordo intorno al punto. Però dato che stiamo parlando di derivate parziali, e non più in generale di quelle direzionali, questo intorno deve essere intersecato con gli assi e quindi dovrebbe essere, considerando $(x_0,y_0)=(0,0)$

${(x,y) in RR^2: x^2+y^2<\rho^2} nn {(x,y) in RR^2:x=0vvy=0}$
$={(x,y) in RR^2:y=0, |x|<\rho} uu {(x,y) in RR^2:x=0, |y|<\rho}$

Quindi essenzialmente i due intervalli di ampiezza $\rho$ sugli assi x e y.

P.S. ammettere che scrivendolo adesso iniziò ad avere “qualche dubbio sul mio dubbio”. Le derivate parziali sono continue lungo gli assi, ma dovrebbero esserlo in tutto L’intorno. Ma come faccio a verificarlo in pratica in questo caso? La condizione viene presentata essenzialmente come un metodo “veloce” per verificare la differenziabilitá.

Il gradiente vale $((2xy^3)/(x^2+y^2)^2,( x^2(x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2 ) $ per $((x,y)!=(0,0)$ e vale $(0,0)$ per $((x,y)=(0,0)$. guardando il grafico mi sembra che non esistano i limiti delle derivate parziali, ma che queste siano continue nell’origine. Come faccio ad applicare questo metodo in questo caso, e quindi verificare che il gradiente non sia continuo nell’origine.?

Grazie ad entrambi

[gugo82]

Perché mai dovresti intersecare con gli assi?
Le tue derivate dovrebbero esistere ed essere continue “in un intorno di $(0,0)$”, cosa che evidentemente non fanno. Prova.

[dissonance]

Un appunto.

La funzione è discontinua nell'origine, dove viene prolungata per continuità:

Questa è una contraddizione in termini. Non si può "prolungare per continuità" una funzione discontinua. Quello che tu vuoi dire è che la funzione non è a priori definita nell'origine, dove viene prolungata per continuità.

Queste possono sembrarti pignolerie ma ti posso garantire che non lo sono affatto. Il tuo dubbio di questo topic, ad esempio, nasce proprio da una interpretazione sciatta dell'enunciato di un teorema.