Differenziabilità e derivabilità in due variabili
Mi sorge una domanda su un esempio fatto dal professore a lezione.
Per mostrare che in due variabili non c'è sufficienza tra derivabilità direzionale => differenziabilità ha portato questo controesempio
SI ha una funzione definita a rami f(x,y):
$(x^2y)/(x^2+y^2)$ se $(x,y)$ diverso da zero
$0$ se (x,y)=(0,0)
Ha poi svolto il limite t->0 $lim_(t->0) (f(ta,bt)-f(0,0))/t=(a^2b)/(a^2+b^2)$
E qui il punto dubbio, dice:
$(δf)/(δx)(0,0)=0$
$(δf)/(δy)(0,0)=0$
cioè ha calcolato le derivate parziali nel punto "origine".
Questo per poi mostrare che essendo il gradiente nullo per la formula del gradiente si avrà nullità di ogni direzionale, cosa che stona che risultato della definizione di derivata direzionale data dal limite di cui sopra.
Il punto è che a me non risulta proprio che nelle funzioni a tratti (es. in analisi 1) io possa fare la derivata nel punto 0 (calcolata come derivata prima cioè dalla funzione). Anzi, è proprio sbagliato farlo infatti si usa il limite del rapporto incrementale per verificare sia derivabile nei punti dubbi. Che strana cosa.
Per mostrare che in due variabili non c'è sufficienza tra derivabilità direzionale => differenziabilità ha portato questo controesempio
SI ha una funzione definita a rami f(x,y):
$(x^2y)/(x^2+y^2)$ se $(x,y)$ diverso da zero
$0$ se (x,y)=(0,0)
Ha poi svolto il limite t->0 $lim_(t->0) (f(ta,bt)-f(0,0))/t=(a^2b)/(a^2+b^2)$
E qui il punto dubbio, dice:
$(δf)/(δx)(0,0)=0$
$(δf)/(δy)(0,0)=0$
cioè ha calcolato le derivate parziali nel punto "origine".
Questo per poi mostrare che essendo il gradiente nullo per la formula del gradiente si avrà nullità di ogni direzionale, cosa che stona che risultato della definizione di derivata direzionale data dal limite di cui sopra.
Il punto è che a me non risulta proprio che nelle funzioni a tratti (es. in analisi 1) io possa fare la derivata nel punto 0 (calcolata come derivata prima cioè dalla funzione). Anzi, è proprio sbagliato farlo infatti si usa il limite del rapporto incrementale per verificare sia derivabile nei punti dubbi. Che strana cosa.
Risposte
in teoria in $RR^2$ se almeno una derivata parziale è continua in un punto, la funzione è differenziabile in quel punto
La formula del gradiente la puoi usare se la funzione è differenziabile, non in generale, quindi non capisco l’affermazione.
La formula del gradiente la puoi usare se la funzione è differenziabile, non in generale, quindi non capisco l’affermazione.
In realtà credo volesse applicarla -la formula del gradiente- per far vedere che non funziona per portare a un assurdo.
Ma quel che non capisco è perché in questa funzione abbia derivato nel punto in cui (x,y)=(0,0) applicando le derivate parziali sulla funzione f(x,y)=0 a me pare sbagliato.
Anche in funzioni a una variabile infatti non mi risulta che nel punto di collegamento dei rami si vada a far la derivata prima per verificare se derivabile. Anche perché se esiste la derivata prima sul punto x=0 non implica derivabilità (intendo derivare la costante 0 in pratica). Sbaglio?
Ma quel che non capisco è perché in questa funzione abbia derivato nel punto in cui (x,y)=(0,0) applicando le derivate parziali sulla funzione f(x,y)=0 a me pare sbagliato.
Anche in funzioni a una variabile infatti non mi risulta che nel punto di collegamento dei rami si vada a far la derivata prima per verificare se derivabile. Anche perché se esiste la derivata prima sul punto x=0 non implica derivabilità (intendo derivare la costante 0 in pratica). Sbaglio?
Spero tu (o qualcuno con grande pazienza 
) abbia ancora voglia di rispondermi 
Sono risucito a recuperare una foto del libro dal compagno di corso (io sto studiando su di un altro)
e (2.3) è proprio la formula del gradiente.
Io però vorrei soffermarmi più che altro sul mio dubbio che vorrei colmare, ovvero la logica che mi pare sbagliata.Infatti se io avessi una funzione:
$f(x)={(3x if x≠0),(2x if x=0):}$
Ora studiando la derivabilità con il rapporto incrementale si avrebbe $lim_(h->0) (3(h)-0)/h=3$ derivabile e la derivata in zero è 3.
Se invece eseguissi come fa il libro (con le dovute differenze date dal numero di variabili)
$f'(x)={(3 if x≠0),(2 if x=0):}$
e a questo punto la derivata in zero verrebbe da dire essere 2. Che è un errore. Eppure è quel che fa nel passaggio
A me par proprio un errore concettuale
) abbia ancora voglia di rispondermi Sono risucito a recuperare una foto del libro dal compagno di corso (io sto studiando su di un altro)
e (2.3) è proprio la formula del gradiente.
Io però vorrei soffermarmi più che altro sul mio dubbio che vorrei colmare, ovvero la logica che mi pare sbagliata.Infatti se io avessi una funzione:
$f(x)={(3x if x≠0),(2x if x=0):}$
Ora studiando la derivabilità con il rapporto incrementale si avrebbe $lim_(h->0) (3(h)-0)/h=3$ derivabile e la derivata in zero è 3.
Se invece eseguissi come fa il libro (con le dovute differenze date dal numero di variabili)
$f'(x)={(3 if x≠0),(2 if x=0):}$
e a questo punto la derivata in zero verrebbe da dire essere 2. Che è un errore. Eppure è quel che fa nel passaggio
"sgrisolo":
E qui il punto dubbio, dice:
$(δf)/(δx)(0,0)=0$
$(δf)/(δy)(0,0)=0$
cioè ha calcolato le derivate parziali nel punto "origine".
A me par proprio un errore concettuale
Le derivate parziali nell'origine si ottengono ponendo $alpha=1$, $beta=0$ e $alpha=0$, $beta=1$, e quindi risultano nulle entrambe, come dice e fa il testo.
@vulplasir
[ot]accenderò un cero per il lutto dovuto al tuo cambio foto[/ot]
[ot]accenderò un cero per il lutto dovuto al tuo cambio foto[/ot]
Ho compreso, grazie 
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