Differenziabilità e derivabilità di f(x,y)

[gbspeedy]

Ho $f(x,y)= (x^(1/3) y^(5/3))/(sqrt(x^2+y^2))$ per $(x,y)!=(0,0)$ e $0$ per $(x,y)=(0,0)$

Ho verificato che è continua in $R^2$

Per la differenziabilità:
1) la funzione fuori dagli assi ammette derivate parziali continue e per il teo del diff. totale è differenziabile ( e quindi ammette derivate direzionali in quei punti)
2) ho calcolato le derivate parziali $partial x$ e $partial y$ e osservo che la prima è continua nei punti dell'asse x ( escluso l'origine) ma non in quelli dell'asse y mentre la seconda è continua in $R^2$ escluso l'origine
3) ho studiato a parte l'origine e viene non differenziabile.
posso dire per il teo del differenziale totale che è differenziabile in $R^2\{(x,y): x=0 \wedge y!=0}$?

[21zuclo]

ma per la differenziabilità, io usavo sempre per non sbagliare mai la definizione

cioè,
una funzione $f(\ul(x))$ si dice differenziabile nel punto $ \ul(x_0)=(x_0,y_0)^T $ se è derivabile in $ \ul(x_0) $ e se
$ \lim_((x,y)\to (x_0,y_0)) (f(\ul(x))-f(\ul(x_0))- <\gradf(\ul(x_0)), \ul(x)-\ul(x_0)>)/(||\ul(x)-\ul(x_0)||)=0 $

notazione $ \ul(x)=(x,y)^T $

ove (e questo l'avevo visto ad esercitazione)

$ \grad f(\ul(x_0))=(\partial_x f(x_0,y_0), \partial_y f(x_0,y_0))^T $

$ \partial_(x) f(x_0,y_0)=\lim_(x\to x_0) (f(x,y_0)-f(x_0,y_0))/(x-x_0) $

$ \partial_(y) f(x_0,y_0)=\lim_(y\to y_0) (f(x_0,y)-f(x_0,y_0))/(y-y_0) $

ci aveva detto.. che in questi casi è sempre meglio usare la definizione!..