Differenziabilità e derivabilità
Raga mi spiegate la differenza tra funzioni differenziabili e funzioni derivabili? 
in un modo semplice semplice però affinchè io possa comprendere 
in un modo semplice semplice però affinchè io possa comprendere
Risposte
Il concetto di derivabilià riguarda le funzioni di una variabile, e in particolare una funzione è derivabile in un punto $ x0 $ appartenente all'insieme di definizione se esiste finito il limite del rapporto incrementale:
$ lim_(h -> 0) ( f(x0 + h) - f(x0) ) / h $
Analogamente a ciò, si può dire un'altra definizione utilizzabile negli esercizi, e cioè una funzione è derivabile in un punto $ x0 $ se esiste finito il limite:
$ lim_(x -> x0) ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) $
Nelle funzioni di due o più variabili si parla, invece, di differenziabilità, che è un concetto molto simile alla derivabilità di una funzione di una variabile.
In particolare, una funzione di due o più variabili è differenziabile in un punto $ x0 $ appartenente all'insieme di definizione se:
$ EE a in RR^2 | lim_(h -> 0) ( f(x0 + h) - f(x0) - ah ) / |h| = 0 $ ($a$ è un vettore)
Negli esercizi, per verificare la differenziabilità basta verificare che le derivate parziali in un punto $x0$ esistano e siano continue.
$ lim_(h -> 0) ( f(x0 + h) - f(x0) ) / h $
Analogamente a ciò, si può dire un'altra definizione utilizzabile negli esercizi, e cioè una funzione è derivabile in un punto $ x0 $ se esiste finito il limite:
$ lim_(x -> x0) ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0) $
Nelle funzioni di due o più variabili si parla, invece, di differenziabilità, che è un concetto molto simile alla derivabilità di una funzione di una variabile.
In particolare, una funzione di due o più variabili è differenziabile in un punto $ x0 $ appartenente all'insieme di definizione se:
$ EE a in RR^2 | lim_(h -> 0) ( f(x0 + h) - f(x0) - ah ) / |h| = 0 $ ($a$ è un vettore)
Negli esercizi, per verificare la differenziabilità basta verificare che le derivate parziali in un punto $x0$ esistano e siano continue.
In $RR$ praticamente non ci sono differenze tra il concetto di derivabilità e differenziabilità.
In $RR^n$ le cose cambiano, la definizione di funzione differenziabile è:
$ f: \omega $aperto$ sub RR^n \to RR$, $x_0 in \omega$
Si dice che f è differenziabile in $x_0$ se $ exists a in RR^n : lim_{x -> x_0} \frac { f(x) - f(x_0) - < a, x - x_0 > } { || x - x_0 || } $
con < a, b > prodotto vettoriale e || a || norma. Quell' a è poi quello che viene chiamato gradiente, ovvero i lvettore che ha per componenti le derivate parziali della funzione rispetto alle n componenti.
L'esistenza del gradiente comunque non assicura che la funzione sia differenziabile in un dato punto.
La differenza come puoi intuire allora è che la derivata opera in una sola variabile, mentre il concetto di differenziabilità si estende alle funzioni a più variabili.
PS: ho visto solo ora il commento precedente
In $RR^n$ le cose cambiano, la definizione di funzione differenziabile è:
$ f: \omega $aperto$ sub RR^n \to RR$, $x_0 in \omega$
Si dice che f è differenziabile in $x_0$ se $ exists a in RR^n : lim_{x -> x_0} \frac { f(x) - f(x_0) - < a, x - x_0 > } { || x - x_0 || } $
con < a, b > prodotto vettoriale e || a || norma. Quell' a è poi quello che viene chiamato gradiente, ovvero i lvettore che ha per componenti le derivate parziali della funzione rispetto alle n componenti.
L'esistenza del gradiente comunque non assicura che la funzione sia differenziabile in un dato punto.
La differenza come puoi intuire allora è che la derivata opera in una sola variabile, mentre il concetto di differenziabilità si estende alle funzioni a più variabili.
PS: ho visto solo ora il commento precedente
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