Differenziabilità e derivabilità

[Martydm03.]

Ciao a tutti, mi trovo a studiare le funzioni in più variabili e quello che vorrei capire è una differenza concreta tra le seguenti definizioni:
-Derivabile
-Differenziabile
-Di classe C1.

Inoltre vorrei capire un procedimento generale per determinare se la funzione è continua, derivabile, differenziabile e di classe C1 in un dominio.

Queste sono le nozioni che ho, ma che mi risultano molto confuse.
Anzitutto negli esercizi capita spesso una funzione di questo tipo:

$ { (sin (xy)/x),( 0 ):} $ se x $ != $ 0 e se x=0 rispettivamente.

Per studiarne la continuità devo:
1) Calcolare il campo di esistenza di sin(xy)/x. (e già su questo ho dei dubbi in quanto è già specificato di fianco, ma magari potrebbero esserci altri punti problematici oltre lo 0?).
2) Calcolare il limite della funzione per (x,y) che va a (0,yo) poichè non ci sono problemi con la y. Il risultato è yo, ovvero il valore della funzione per (x,y)=(0,yo), in questo caso uguale a 0.

Quindi si può dire che la funzione è continua nel campo di esistenza della funzione sin(xy)/x $ uu $ (0,0). Possiamo dire sia di classe C in tale dominio.

Derivabilità:
1) Calcolo la derivata parziale rispetto a x e rispetto ad y della funzione sin(xy)/x.
2) Calcolo il campo di esistenza di entrambe le derivate parziali: se esistono nel dominio della funzione, allora la funzione è derivabile in tale dominio (?).
Oppure devo anche calcolare il limite delle derivate tendente al punto problematico (lo stesso della continuità) (0,yo)? E affinchè sia derivabile, le derivate parziali devono assumere lo stesso valore della derivata della funzione 0, in questo caso 0, nel limite per (x,y) tendente a (0,yo)?

Classe C1:
Forse l'ultima considerazione che ho scritto è di fatto la definizione di continuità di classe C1?

Differenziabilità:
Per la definizione ho capito che, verificata la continuità della funzione e l'esistenza delle derivate parziali, bisogna calcolare:

$ lim_((X) ->(Xo) )(f(X) - (f(Xo) + ))/(||X-Xo || $

Dove Xo è il punto problematico.

Se il limite è 0, allora la funzione è differenziabile.

Dire che è differenziabile significa dire che esiste per ogni versore la derivata direzionale della funzione nel punto problematico.

In alcuni casi esiste una scorciatoia nella determinazione della differenziabilità di una funzione: Teorema del differenziale totale: se la funzione è continua, derivabile, se le derivate parziali sono continue nel dominio (e quindi la funzione di classe C1), allora essa è differenziabile.

[gugo82]

"Martyyyns":Ciao a tutti, mi trovo a studiare le funzioni in più variabili e quello che vorrei capire è una differenza concreta tra le seguenti definizioni:
-Derivabile
-Differenziabile
-Di classe C1.

Innanzitutto, le prime due proprietà hanno carattere puntuale (una funzione è derivabile/differenziabile in un punto alla volta), mentre la terza ha carattere globale (una funzione è $C^1$ se è derivabile in ogni punto interno e le derivate parziali sono funzioni continue in ogni punto interno al dominio).

Poi, c'è il fatto che valgono le implicazioni:
\[
f \text{ di classe } C^1 \text{ nel dominio}\ \Rightarrow\ f \text{ differenziabile nel dominio}\ \Rightarrow\ f \text{ derivabile nel dominio}
\]
ma non valgono, in generale, le implicazioni inverse perché ci sono controesempi classici: li conosci?

"Martyyyns":Inoltre vorrei capire un procedimento generale per determinare se la funzione è continua, derivabile, differenziabile e di classe C1 in un dominio.

Queste sono le nozioni che ho, ma che mi risultano molto confuse.
Anzitutto negli esercizi [...]

Scusa, ma perché dici di avere confusione nelle nozioni di teoria e poi parli di esercizi?...

"Martyyyns":[...] capita spesso una funzione di questo tipo:

$ { (sin (xy)/x, ", se " x != 0),( 0, ", se " x=0 ):} $

Per studiarne la continuità devo:
1) Calcolare il campo di esistenza di $(sin(xy))/x$. (e già su questo ho dei dubbi in quanto è già specificato di fianco, ma magari potrebbero esserci altri punti problematici oltre lo $0$?).

Se il dominio di un'espressione è già specificato, puoi assumere che sia corretto... Dacci uno sguardo comunque (perché errori di battitura sono sempre dietro l'angolo), ma non è una cosa di cui preoccuparsi troppo.

"Martyyyns":2) Calcolare il limite della funzione per $(x,y)$ che va a $(0,y_0)$ poiché non ci sono problemi con la $y$. Il risultato è $y_0$, ovvero il valore della funzione per $(x,y)=(0,y_0)$, in questo caso uguale a 0.

"Ovvero"?
Perché? Hai detto da qualche parte che $y_0=0$?

Rifletti: il risultato del tuo limite ti porta a concludere una cosa se $y_0=0$ ed un'altra se $y_0!=0$... Cosa?

"Martyyyns":Quindi si può dire che la funzione è continua nel campo di esistenza della funzione $(sin(xy))/x uu (0,0)$.

Questo non vuol dire nulla... Cos'è l'unione di una espressione analitica con un punto del piano?

"Martyyyns":Possiamo dire sia di classe C in tale dominio.

Sicuro???

Prima di concludere dovresti rivedere i passaggi precedenti.

"Martyyyns":Derivabilità:
1) Calcolo la derivata parziale rispetto a $x$ e rispetto ad $y$ della funzione $(sin(xy))/x$.

Dove?
In quale insieme ha senso calcolare senza troppi intoppi le derivate?

"Martyyyns":2) Calcolo il campo di esistenza di entrambe le derivate parziali: se esistono nel dominio della funzione, allora la funzione è derivabile in tale dominio (?).

Anche no... Una derivata non ha un dominio "suo"; il dominio della derivata dipende da dove la funzione inziale è derivabile.

Tanto per capirci, hai la funzione di una variabile $f:[-1,1] -> RR$ che associa $f(x) = x$.
Qual è la sua derivata e dove è definita?

"Martyyyns":Oppure devo anche calcolare il limite delle derivate tendente al punto problematico (lo stesso della continuità) $(0,y_0)$? E affinché sia derivabile, le derivate parziali devono assumere lo stesso valore della derivata della funzione $0$, in questo caso $0$, nel limite per $(x,y)$ tendente a $(0,y_0)$?

Che vuol dire "le derivate parziali devono assumere lo stesso valore della derivata della funzione $0$"?
Cerca di chiarirti cos'è una derivata parziale, prima di rispondere.

"Martyyyns":Classe C1:
Forse l'ultima considerazione che ho scritto è di fatto la definizione di continuità di classe C1?

No, quella roba lì significa poco e nulla.
Cerca di chiarirti (leggendo anche quanto ho scritto più su) cosa significa che $f in C^1$.

"Martyyyns":Differenziabilità:
Per la definizione ho capito che, verificata la continuità della funzione e l'esistenza delle derivate parziali, bisogna calcolare:

$ lim_((x,y) ->(x_0,y_0) )(f(x,y) - (f(x_0,y_0) + << gradf(x_0,y_0), (x-x_0, y-y_0) >> ))/(sqrt((x-x_0)^2 + (y - y_0)^2)) $

Dove $(x_0,y_0)$ è il punto problematico.

Se il limite è $0$, allora la funzione è differenziabile.

Questa è la definizione.

"Martyyyns":Dire che è differenziabile significa dire che esiste per ogni versore la derivata direzionale della funzione nel punto problematico.

No.
Dire che una funzione è differenziabile in un punto significa esattamente quello che hai scritto due righe sopra.
Questo che scrivi qui è una conseguenza della condizione di differenziabilità.

"Martyyyns":In alcuni casi esiste una scorciatoia nella determinazione della differenziabilità di una funzione: Teorema del differenziale totale: se la funzione è continua, derivabile, se le derivate parziali sono continue nel dominio (e quindi la funzione di classe C1), allora essa è differenziabile.

Già... Ma qui non hai ancora concluso nulla, quindi una scorciatoia che non puoi ancora imboccare.

[Martydm03.]

Nella domanda iniziale io ho specificato di avere dubbi sulle definizioni di continuità, derivabilità e differenziabilità. Quindi so perfettamente che tante cose che ho detto sono errate. Ho tenuto a fare l'esempio dell'esercizio per far capire le nozioni sbagliate che possiedo, sperando in una correzione.

[Martydm03.]

"gugo82":
"Ovvero"?
Perché? Hai detto da qualche parte che $y_0=0$?

Rifletti: il risultato del tuo limite ti porta a concludere una cosa se $y_0=0$ ed un'altra se $y_0!=0$... Cosa?

Non so dare una risposta, puoi chiarirmelo ?

"gugo82":
Questo non vuol dire nulla... Cos'è l'unione di una espressione analitica con un punto del piano?

Intendevo l'unione tra i punti del campo di esistenza dell funzione e il punto (0,0).

"gugo82":

In quale insieme ha senso calcolare senza troppi intoppi le derivate?

Nel campo di esistenza della funzione?

"gugo82":
Anche no... Una derivata non ha un dominio "suo"; il dominio della derivata dipende da dove la funzione inziale è derivabile.

Questo è assolutamente vero e non ci avevo riflettuto.

Vorrei allegare il procedimento di un esercizio simile per far capire anche a cosa alludevo, probabilmente sbagliando tutti i passaggi:

[gugo82]

"Martyyyns":[quote="gugo82"]
"Ovvero"?
Perché? Hai detto da qualche parte che $y_0=0$?

Rifletti: il risultato del tuo limite ti porta a concludere una cosa se $y_0=0$ ed un'altra se $y_0!=0$... Cosa?

Non so dare una risposta, puoi chiarirmelo ?[/quote]
Facciamo un disegno... Questa è la situazione che ti si presenta davanti agli occhi quando rappresenti il dominio di $f$ (che è tutto $RR^2$) e le zone in cui essa ha espressioni differenti:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;line([0,-4],[0,4]);
text([-2,0], "f(x,y) = (sin xy)/x",above); text([2,0], "f(x,y) = (sin xy)/x",above);
text([2,-3], "f(x,y) = 0", above);
strokewidth=1; rect([1.25,-3],[2.75,-2.5]); marker="arrow"; line([1.25,-2.75],[0.1,-1.5]);[/asvg]
l'espressione $0$ vale sui punti dell'asse delle ordinate, l'altra, cioè $(sin(xy))/x$, vale in tutti i restanti punti del piano.

Studiamo la continuità di $f$.
Prendiamo un punto $(x_0,y_0) \in RR^2$. Se il punto $(x_0,y_0)$ è un punto che non è sull'asse delle ordinate, i.e. se $x_0 != 0$, allora $(x_0,y_0)$ è un punto interno alla regione in cui $f(x,y) = (sin(xy))/x$.
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
stroke="gray"; fill="lightgray"; circle([1.7,2.3],1); stroke="black"; fill="none"; dot([1.7, 2.3]); text([1.7,2.3], "(x0, y0)", above);
stroke="red"; strokewidth=2;line([0,-4],[0,4]);
text([-2,0], "f(x,y) = (sin xy)/x",above); text([2,0], "f(x,y) = (sin xy)/x",above);
text([2,-3], "f(x,y) = 0", above);
strokewidth=1; rect([1.25,-3],[2.75,-2.5]); marker="arrow"; line([1.25,-2.75],[0.1,-1.5]);[/asvg]
Ciò implica che esiste un intorno completo di $(x_0,y_0)$ in cui vale:

$f(x,y) = (sin(xy))/x$

perché ogni punto di tale intorno ha $x != 0$; ma allora $f$ è continua in $(x_0,y_0)$, perché composta da funzioni continue in(torno a) tale punto.

Viceversa, se $(x_0,y_0)$ sta sull'asse delle ordinate, cioè se $x_0=0$, allora in ogni intorno completo di $(x_0,y_0)$ cadono sia punti in cui $f(x,y) = (sin(xy))/x$ sia punti in cui $f(x,y)=0$.
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
stroke="gray"; fill="lightgray"; circle([0,2.3],1); fill="none";
stroke="red"; strokewidth=2;line([0,-4],[0,4]);
text([-2,0], "f(x,y) = (sin xy)/x",above); text([2,0], "f(x,y) = (sin xy)/x",above);
text([2,-3], "f(x,y) = 0", above);
strokewidth=1; rect([1.25,-3],[2.75,-2.5]); marker="arrow"; line([1.25,-2.75],[0.1,-1.5]);
stroke="black"; dot([0, 2.3]); text([0,2.3], "(x0, y0)", above);[/asvg]
In questo caso, per verificare la continuità in $(x_0,y_0) = (0,y_0)$ non possiamo appoggiarci sui risultati di continuità delle funzioni elementari, ma dobbiamo andare a verificare esplicitamente se:

$lim_((x,y) -> (0,y_0)) f(x,y) = f(0,y_0)$.

Chiaramente $f(0,y_0) = 0$ per ogni $y_0 in RR$; ed altrettanto chiaramente il limite al primo membro della precedente dà $0$ se esso è calcolato limitatamente alla restrizione di $f$ all'asse delle ordinate (perché su tale restrizione si ha $f(x,y)=0$ per definizione); tuttavia, non appena si calcola il valore del limite su restrizioni differenti di $f$ (ad esempio, quelli ai diametri non verticali dell'intorno completo evidenziato in grigio), risulta:

$lim_((x,y) -> (0,y_0)) (sin(xy))/x = lim_((x,y) -> (0,y_0)) (sin(xy))/(xy)\ y = y_0$;

conseguentemente $f$ è continua in $(0,y_0)$ se e solo se $y_0 = f(0,y_0) = 0$, cioè l'unico punto dell'asse delle ascisse in cui $f$ è continua è l'origine $O=(0,0)$.

Da ciò segue che non ha alcun senso chiedersi se $f$ è differenziabile nei punti $(0,y_0)$ con $y_0 != 0$, né se $f$ è $C^1$ nel suo dominio.

***

Per quanto riguarda la derivabilità (parziale rispetto alle due variabili), il discorso si porta avanti allo stesso modo... Riesci ad imbastirlo da solo?
Prova un po'.

"Martyyyns":[quote="gugo82"]
Questo non vuol dire nulla... Cos'è l'unione di una espressione analitica con un punto del piano?

Intendevo l'unione tra i punti del campo di esistenza della funzione e il punto (0,0).[/quote]
"La funzione" quale?
Qua ce n'è solo una di funzione, ed è $f$.

"Martyyyns":[quote="gugo82"]In quale insieme ha senso calcolare senza troppi intoppi le derivate?

Nel campo di esistenza della funzione?[/quote]
No. Perché?

"Martyyyns":[quote="gugo82"]
Anche no... Una derivata non ha un dominio "suo"; il dominio della derivata dipende da dove la funzione inziale è derivabile.

Questo è assolutamente vero e non ci avevo riflettuto.[/quote]
Ma questo è materia su cui riflettere già in Analisi I... Cosa mi dici dell'esempio in una variabile che ti ho proposto?

"Martyyyns":Vorrei allegare il procedimento di un esercizio simile per far capire anche a cosa alludevo, probabilmente sbagliando tutti i passaggi:

Se lo svolgimento non è tuo, poco importa leggerlo.