Differenziabilità di una funzione in un punto
ciao a tutti, mi sono imbattuto in questa funzione:
$f(x,y)=|x^2-2y+3y^3|$
calcolando il gradiente mi rendo conto che le componenti sono continue, il che dovrebbe significare che la funzione è differenziabile.
ma la funzione è in modulo, e in tal caso non so come comportarmi.
ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
desperados
$f(x,y)=|x^2-2y+3y^3|$
calcolando il gradiente mi rendo conto che le componenti sono continue, il che dovrebbe significare che la funzione è differenziabile.
ma la funzione è in modulo, e in tal caso non so come comportarmi.
ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
desperados
Risposte
"desperados":
ciao a tutti, mi sono imbattuto in questa funzione:
$f(x,y)=|x^2-2y+3y^3|$
calcolando il gradiente mi rendo conto che le componenti sono continue, il che dovrebbe significare che la funzione è differenziabile.
ma la funzione è in modulo, e in tal caso non so come comportarmi.
ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
desperados
Ovviamente la funzione è differenziabile in ogni punto in cui non si annulla l'argomento del valore assoluto.
Per vedere cosa succede nei punti in cui l'argomento si annulla devi distinguere i casi in cui l'argomento sia positivo o negativo, calcolare effettivamente le derivate e vedere cosa succede quando il punto $(x,y)$ si avvicina ad un punto $(x_0,y_0)$ tale che $x_0^2-2y_0+3y_0^3=0$.
scusa non ho capito molto.
potresti svolgerlo per favore?
grazie 1000
potresti svolgerlo per favore?
grazie 1000
Ovviamente hai:
$f(x,y)= \{ (x^2-2y+3y^3, ", se " x^2-2y+3y^3> 0) , (quad quad quad 0, ", se " x^2-2y+3y^3=0) , (-x^2+2y-3y^3, ", se " x^2-2y+3y^3< 0) :}$.
Ne consegue che la $f$ è sicuramente differenziabile nei due aperti:
$A_1={(x,y)in RR^2:quad x^2-2y+3y^3> 0}quad$ ed $quad A_2={(x,y)in RR^2:quad x^2-2y+3y^3< 0} quad$:
infatti si ha:
$(\partial f)/(\partial x)(x,y)=2x quad$ e $quad (\partial f)/(\partial y)(x,y)=9y^2-2 quad$ identicamente in $A_1$
$(\partial f)/(\partial x)(x,y)=-2x quad$ e $quad (\partial f)/(\partial y)(x,y)=2-9y^2 quad$ identicamente in $A_2$
quindi le derivate sono continue rispettivamente in $A_1,A_2$ (e sai che ciò basta a garantire la differenziabilità in tali aperti).
Ora devi esaminare il comportamento delle derivate sui punti dell'insieme $Gamma={(x,y)in RR^2:quad x^2-2y+3y^3=0}$: ciò si può fare, ad esempio, studiando i:
$lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_1}) (\partial f)/(\partial x)(x,y) quad$, $quad lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_2}) (\partial f)/(\partial x)(x,y)$
$im_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_1}) (\partial f)/(\partial y)(x,y) quad$, $quad lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_2}) (\partial f)/(\partial y)(x,y)$
per ogni punto $(x_0,y_0) in Gamma$.
$f(x,y)= \{ (x^2-2y+3y^3, ", se " x^2-2y+3y^3> 0) , (quad quad quad 0, ", se " x^2-2y+3y^3=0) , (-x^2+2y-3y^3, ", se " x^2-2y+3y^3< 0) :}$.
Ne consegue che la $f$ è sicuramente differenziabile nei due aperti:
$A_1={(x,y)in RR^2:quad x^2-2y+3y^3> 0}quad$ ed $quad A_2={(x,y)in RR^2:quad x^2-2y+3y^3< 0} quad$:
infatti si ha:
$(\partial f)/(\partial x)(x,y)=2x quad$ e $quad (\partial f)/(\partial y)(x,y)=9y^2-2 quad$ identicamente in $A_1$
$(\partial f)/(\partial x)(x,y)=-2x quad$ e $quad (\partial f)/(\partial y)(x,y)=2-9y^2 quad$ identicamente in $A_2$
quindi le derivate sono continue rispettivamente in $A_1,A_2$ (e sai che ciò basta a garantire la differenziabilità in tali aperti).
Ora devi esaminare il comportamento delle derivate sui punti dell'insieme $Gamma={(x,y)in RR^2:quad x^2-2y+3y^3=0}$: ciò si può fare, ad esempio, studiando i:
$lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_1}) (\partial f)/(\partial x)(x,y) quad$, $quad lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_2}) (\partial f)/(\partial x)(x,y)$
$im_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_1}) (\partial f)/(\partial y)(x,y) quad$, $quad lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_2}) (\partial f)/(\partial y)(x,y)$
per ogni punto $(x_0,y_0) in Gamma$.
ok, ci sono. avevo pensato a un ragionamento del genere. tuttavia ho un intoppo. io calcolo le derivate parziali di A1 e A2, ma come interpreto i risultati?
"gugo82":
[...]
Ora devi esaminare il comportamento delle derivate sui punti dell'insieme $Gamma={(x,y)in RR^2:quad x^2-2y+3y^3=0}$: ciò si può fare, ad esempio, studiando i:
$lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_1}) (\partial f)/(\partial x)(x,y) quad$, $quad lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_2}) (\partial f)/(\partial x)(x,y)$
$im_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_1}) (\partial f)/(\partial y)(x,y) quad$, $quad lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_2}) (\partial f)/(\partial y)(x,y)$
per ogni punto $(x_0,y_0) in Gamma$.
Finisco la spiegazione di ieri, che non ho avuto il tempo sufficiente a concluderla.
Fissato $(x_0,y_0) in Gamma$, hai:
(*) $quad lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_1}) (\partial f)/(\partial x)(x,y)=2x_0 quad$ e $quad lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_2}) (\partial f)/(\partial x)(x,y)=-2x_0$
(**) $quad im_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_1}) (\partial f)/(\partial y)(x,y)=9y_0^2-2 quad$ e $quad lim_(\stackrel{(x,y)to(x_0,y_0)}{(x,y)in A_2}) (\partial f)/(\partial y)(x,y)=2-9y_0^2$
quindi le derivate parziali di $f$ hanno nei punti di $Gamma$ delle discontinuità eliminabili o al più di prima specie. Ne consegue che tali derivate sono limitate intorno ad ogni punto di $Gamma$: questo fatto è già confortante, poichè ricordo che vale il seguente teorema sulla differenziabilità:
Siano $Omega subset RR^2$ un aperto, $f:Omega to RR$ ed $(x_0,y_0) in Omega$.
Se la $f$ è dotata di derivate parziali prime limitate in un intorno di $(x_0,y_0)$ ed almeno una di tali derivate è continua in $(x_0,y_0)$ allora $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$.
Alla luce del risultato appena richiamato e della limitatezza di $(\partial f)/(\partial x), (\partial f)/(\partial y)$ intorno ad ogni punto di $Gamma subseteq RR^2$, possiamo asserire che la nostra $f$ è differenziabile in tutti i punti $(x_0,y_0) in Gamma$ in cui almeno una tra $(\partial f)/(\partial x), (\partial f)/(\partial y)$ abbia una discontinuità eliminabile. Da (*) e (**) si trae facilmente che $(\partial f)/(\partial x)$ ha discontinuità eliminabili nei punti di $Gamma$ che hanno $x_0=0$ mentre $(\partial f)/(\partial y)$ presenta lo stesso tipo di discontinuità nei punti che hanno $9y_0^2-2=2-9y_0^2$, ossia $y_0=pm 2/3$; ricordando che la condizione di appartenenza a $Gamma$ è $x_0^2-2y_0+3y_0^3=0$, dai calcoli appena fatti otteniamo che:
1) $quad (\partial f)/(\partial x)$ ha discontinuità eliminabili nei punti $(0,0), (0,sqrt(2/3)), (0,-sqrt(2/3)) in Gamma quad$ (questi punti si ottengono risolvendo rispetto ad $y_0$ l'equazione $x_0^2-2y_0+3y_0^3=0$ in cui hai sostituito $x_0=0$);
2) $quad (\partial f)/(\partial y)$ ha discontinuità eliminabili nei punti $(-2/3,2/3), (2/3,2/3) in Gamma quad$ (questi punti si ottengono risolvendo rispetto ad $x_0$ l'equazione $x_0^2-2y_0+3y_0^3=0$ in cui hai sostituito $y_0=pm 2/3$).
Ne consegue che $f$ è certamente differenziabile in $A_1cup A_2cup {(0,0), (0,sqrt(2/3)), (0,-sqrt(2/3)),(-2/3,2/3), (2/3,2/3)}$, mentre nei punti di $Gamma-{(0,0), (0,sqrt(2/3)), (0,-sqrt(2/3)),(-2/3,2/3), (2/3,2/3)}$ la funzione non può essere differenziabile perchè ivi non esistono né $(\partial f)/(\partial x)$ né $(\partial f)/(\partial y)$.
Ovviamente ti chiedo di controllare bene i calcoli.
"desperados":
ok, ci sono. avevo pensato a un ragionamento del genere. tuttavia ho un intoppo. io calcolo le derivate parziali di A1 e A2, ma come interpreto i risultati?
Non capisco cosa vuoi dire, ma probabilmente ti ho già risposto... Se ti rimangono dubbi chiedi pure.
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