Differenziabilità di una funzione in un punto
Salve a tutti, vorrei chiedere un aiutino su una tipologia di esercizi che sto affrontando:
Si supponga che la funzione $f$ sia definita in un intorno del punto $x_0=0$, che verifichi in ogni punto di tale intorno la relazione $f^2(x)+(x^3+1)f(x)=2x^6+x^3$, che assuma in $x_0$ il valore $f(0)=0$ e che sia differenziabile in $x_0$. Si richiede di calcolare $f'(x_0)$. Questa è una situazione in cui la funzione non è comodamente definita tramite una formula esplicita, quindi non riesco proprio ad impostare un procedimento. Qualcuno saprebbe darmi un piccolo input?
Ringrazio in anticipo!
Si supponga che la funzione $f$ sia definita in un intorno del punto $x_0=0$, che verifichi in ogni punto di tale intorno la relazione $f^2(x)+(x^3+1)f(x)=2x^6+x^3$, che assuma in $x_0$ il valore $f(0)=0$ e che sia differenziabile in $x_0$. Si richiede di calcolare $f'(x_0)$. Questa è una situazione in cui la funzione non è comodamente definita tramite una formula esplicita, quindi non riesco proprio ad impostare un procedimento. Qualcuno saprebbe darmi un piccolo input?
Ringrazio in anticipo!
Risposte
Se $h(x)=k(x)$ in un intorno di $x_0$, allora anche $h'(x)=k'(x)$ nello stesso intorno, no? E in particolare $h'(x_0)=k'(x_0)$...
Grazie mille ho risolto! 
Salve, riapro la discussione per chiedere un aiutino su un esercizio dello stesso tipo ma stavolta con una funzione a valori vettoriali. Si supponga che la funzione $f$ sia definita in un intorno del punto $x_0=0$, che verifichi in ogni punto di tale intorno le relazioni: $|f(x)|^2=1+4x$,\(\displaystyle \quad f_1(x)+ sin \: f_2(x)=1 \), che assuma in ogni punto di tale intorno il valore $f(0)=(1,0)$ e che sia differenziabile in $x_0$. Si richiede di calcolare le derivate parziali di $f$ in $x_0$. Ho svolto in questo modo:
poichè \( \displaystyle |f(x)|=\sqrt(f^2_1(x)+f^2_2(x)) \), \( \displaystyle \> D_1f(x)= 2\cancel{\sqrt(f^2_1(x)+f^2_2(x))} \frac{\cancel{2}f_1(x)} {\cancel{2} \cancel{\sqrt(f^2_{1}(x)+f^2_2(x))}}=2f_1(x) \); \( \displaystyle \> D_2f(x)= 2\cancel{\sqrt(f^2_1(x)+f^2_2(x))} \frac{\cancel{2}f_2(x)} {\cancel{2} \cancel{\sqrt(f^2_1(x)+f^2_2(x))}}=2f_2(x) \); derivando anche il secondo membro della prima relazione si ottiene $(f_1(x),f_2(x))=2$. Procedendo allo stesso modo per la relazione successiva si ha:
$D_1f(x)=f_1'(x)=0$ e $D_2f(x)=f_2'(x)cos f_2(x)=0$.
La soluzione dell'esercizio suggerisce che la derivata della funzione $f$ nel punto $x_0$ è il vettore $(2,-2)$ che risolve un sistema lineare.
Dove sbaglio? Ringrazio in anticipo!
poichè \( \displaystyle |f(x)|=\sqrt(f^2_1(x)+f^2_2(x)) \), \( \displaystyle \> D_1f(x)= 2\cancel{\sqrt(f^2_1(x)+f^2_2(x))} \frac{\cancel{2}f_1(x)} {\cancel{2} \cancel{\sqrt(f^2_{1}(x)+f^2_2(x))}}=2f_1(x) \); \( \displaystyle \> D_2f(x)= 2\cancel{\sqrt(f^2_1(x)+f^2_2(x))} \frac{\cancel{2}f_2(x)} {\cancel{2} \cancel{\sqrt(f^2_1(x)+f^2_2(x))}}=2f_2(x) \); derivando anche il secondo membro della prima relazione si ottiene $(f_1(x),f_2(x))=2$. Procedendo allo stesso modo per la relazione successiva si ha:
$D_1f(x)=f_1'(x)=0$ e $D_2f(x)=f_2'(x)cos f_2(x)=0$.
La soluzione dell'esercizio suggerisce che la derivata della funzione $f$ nel punto $x_0$ è il vettore $(2,-2)$ che risolve un sistema lineare.
Dove sbaglio? Ringrazio in anticipo!
deriva entrambi i termini dell'equazione
$f_1^2(x)+f_2^2(x)=1+4x$
e dell'equazione
$f_1(x)+sinf_2(x)=1$,
sostituisci zero ed il gioco è fatto
$f_1^2(x)+f_2^2(x)=1+4x$
e dell'equazione
$f_1(x)+sinf_2(x)=1$,
sostituisci zero ed il gioco è fatto
ma se derivo ho: \(\displaystyle f_1(x)+f_2(x)=2\>, \quad f_1'(x)+f_2'(x)\>cos\>f_2(x)=0 \). e sostituendo poi $f_1(0)=1$ e $f_2(0)=0$ in entrambe, la prima relazione risulta falsa, mentre la seconda: $f_1'(0)=-f_2'(0)$ soddisfa la soluzione dell'esercizio. ma ancora non riesco a capire dove sbaglio per arrivare ad ottenere il vettore $(2,-2)$.
che ti ha fatto di male la prima equazione per maltrattarla in quel modo?
derivando entrambi i suoi membri hai
$2f_1(x)f_1'(x)+2f_2(x)f_2'(x)=4$
derivando entrambi i suoi membri hai
$2f_1(x)f_1'(x)+2f_2(x)f_2'(x)=4$
Oops! 
Grazie infinite stormy!
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