Differenziabilità di una funzione in (0,0)

[ostyle]

Buonasera a tutti, volevo chiedervi un aiuto su questo problema.
Devo studiare la differenziabilità di questa funzione nel punto (0,0)

$ x(1+sqrt(|siny|)) $

Allora per prima cosa mi sono calcolato le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y tramite:

$ lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h=(h-0)/h=1$

$ lim_(h->0)(f(0,h)-f(0,0))/h=0/h=0$

e quindi per la differenziabilità ho
$ lim_(x,y->0,0)(f(x,y)-f(0,0)-((delf)/(delx))(0,0)x-((delz)/(dely))(0,0)y)/sqrt(x^2+y^2) $

che mi diventa:

$ lim_(x,y->0,0) x(sqrt(|siny|))/sqrt(x^2+y^2)$

A questo punto inserendo le coordinate polari mi resta

$ lim_(\rho->0) cos(\theta)sqrt(sin(\rhosin(\theta)) $

Pensavo che l'ultimo limite fosse di risultato impossibile ma il libro mi dice che la funzione è effettivamente differenziabile e quindi dovrebbe fare 0.....mi sapete spiegare il perchè? Grazie a tutti

[Rigel1]

"ostyle":$ lim_(\rho->0) cos(\theta)sqrt(sin(\rhosin(\theta)) $

Pensavo che l'ultimo limite fosse di risultato impossibile ma il libro mi dice che la funzione è effettivamente differenziabile e quindi dovrebbe fare 0.....mi sapete spiegare il perchè? Grazie a tutti

Usando la disuguaglianza \(|\sin t| \leq |t|\) hai che
\[
|\sin(\rho \sin(\theta))| \leq |\rho \, \sin(\theta)| \leq \rho
\]
da cui
\[
\left|\cos(\theta) \sqrt{|\sin(\rho \sin(\theta))|}\right| \leq \sqrt{\rho}
\]
e dunque
\[
\sup_{\theta} \ \left|\cos(\theta) \sqrt{|\sin(\rho \sin(\theta))|}\right| \leq \sqrt{\rho}\,.
\]
Da qui puoi concludere che la funzione è differenziabile, visto che il secondo membro tende a \(0\) per \(\rho \to 0^+\).

Naturalmente si poteva fare tutto senza passare alle coordinate polari:
\[
\left| x \frac{\sqrt{|\sin y|}}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \leq
\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\, \sqrt{|y|} \leq \sqrt{|y|}.
\]

[ostyle]

Risposta perfetta ti ringrazio !