Differenziabilità di una funzione a due variabili
visto che sto iniziando a studiare le funzioni a due variabile ancora non ho capito come muovermi praticamente per risolvere gli esercizi quindi vi posto un esercizio in cui ho difficoltà
definita $f(x,y):{(y^2 cos(1/y) y!=0),(0 (x,0)):}$
verificare se è parzialmente derivabile in $(x,0)$
verificare se è di classe $C^1$
infine verificare se è differenziabile in $(x,0)$
allora per svolgere il primo banalmente mi calcolo le derivate parziali
$(delf)/(delx)=0$
$(delf)/(dely)=2ycos(1/y)+sin(1/y)=0$
quindi posso affermare che la funzione è parzialmente derivabile in tale punto e valgono proprio $0$
sul secondo punto avrei dei dubbi cioè parto dal fatto che la derivata è continua ma l unico punto in cui mi sorge il dubbio e proprio in $(x,0)$ ma non riesco a capire come verificarlo la mia idea è verificare che esista il $lim_((x,y)->(0,0))$
e vale proprio zero ma non so se è giusta
mentre per il terzo punto posso applicare il teorema del differenziale totale in base alla continuità delle derivate parziali oppure applicare la definizione di differenziale potete dirmi la strada piu semplice e sicura ??
definita $f(x,y):{(y^2 cos(1/y) y!=0),(0 (x,0)):}$
verificare se è parzialmente derivabile in $(x,0)$
verificare se è di classe $C^1$
infine verificare se è differenziabile in $(x,0)$
allora per svolgere il primo banalmente mi calcolo le derivate parziali
$(delf)/(delx)=0$
$(delf)/(dely)=2ycos(1/y)+sin(1/y)=0$
quindi posso affermare che la funzione è parzialmente derivabile in tale punto e valgono proprio $0$
sul secondo punto avrei dei dubbi cioè parto dal fatto che la derivata è continua ma l unico punto in cui mi sorge il dubbio e proprio in $(x,0)$ ma non riesco a capire come verificarlo la mia idea è verificare che esista il $lim_((x,y)->(0,0))$
e vale proprio zero ma non so se è giusta
mentre per il terzo punto posso applicare il teorema del differenziale totale in base alla continuità delle derivate parziali oppure applicare la definizione di differenziale potete dirmi la strada piu semplice e sicura ??
Risposte
"alessandrof10":
$(delf)/(delx)=0$
$(delf)/(dely)=2ycos(1/y)+sin(1/y)=0$
quindi posso affermare che la funzione è parzialmente derivabile in tale punto e valgono proprio $0$
Non ho capito come fai a derivare parzialmente qui, i risultati sonoi giusti ma credo che ci sia qualche problema logistico. Faresti vedere come ci sei arrivato?
sul secondo punto avrei dei dubbi cioè parto dal fatto che la derivata è continua ma l unico punto in cui mi sorge il dubbio e proprio in $(x,0)$ ma non riesco a capire come verificarlo
Immagino che per $C^1$ tu intendi che $f$ sia derivabile e che le derivate parziali siano a loro volta continue. Bene, tu hai dimostrato che $ ((delf)(x,y))/(delx)={(0 if y!=0),(0 if (x,0)):} $ e $ ((delf)(x,y))/(dely)= {(2ycos(1/y)+sin(1/y) if y!=0),(0 if (x,0)):}$.
La prima è ovviamente continua, cosa puoi dire della seconda?
mentre per il terzo punto posso applicare il teorema del differenziale totale in base alla continuità delle derivate parziali oppure applicare la definizione di differenziale potete dirmi la strada piu semplice e sicura ??
Se dimostri la continuità delle derivate parziali, ti è più comodo usare il teorema del differenziale totale. Altrimenti, con la definizione
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sul primo punto ho derivato la funzione rispetto alla x e di conseguenza essendo tutta una costante è zero nella seconda derivata parziale invece avendola calcolata devo verificare se esiste in (x,0) un modo per farlo e applicare la definizione di continuità alla derivata cioè se il limite che tende a (0,0) della derivata faccia proprio 0 giusto ma adesso che ci penso questo limite non esce zero :S
In entrambi i casi devi controllare la derivabilità con la definizione.
Def : Sia$\Omega sube R^n$ $n>=1$ un aperto. Sia $x_0 \in \Omega$. Diremo che $f$ è derivabile parzialmente in $x_0$ rispetto alla variabile $x_i$ , con $i \in {1,..,n}$ se
$\exists lim_{t->0} (f(x_0+t e_i)- f(x_0))/t$ , dove $e_i=(0,...,1,....0)$.
In tal caso questo limite verrà denotato con $(\partial f(x_0))/(\partial x_i) $
Def : Sia$\Omega sube R^n$ $n>=1$ un aperto. Sia $x_0 \in \Omega$. Diremo che $f$ è derivabile parzialmente in $x_0$ rispetto alla variabile $x_i$ , con $i \in {1,..,n}$ se
$\exists lim_{t->0} (f(x_0+t e_i)- f(x_0))/t$ , dove $e_i=(0,...,1,....0)$.
In tal caso questo limite verrà denotato con $(\partial f(x_0))/(\partial x_i) $
quindi
$lim_(h->0) ((0+h)^2cos(1/(0+h))-0)/h=lim_(h->0)h^2cos(1/h)/h=lim_(h->0)hcos(1/h)<=lim_(h->0) h=0$
giusto ??
$lim_(h->0) ((0+h)^2cos(1/(0+h))-0)/h=lim_(h->0)h^2cos(1/h)/h=lim_(h->0)hcos(1/h)<=lim_(h->0) h=0$
giusto ??
Ti basta dire che viene zero perché è un infinitesima per limitata .
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vbb preferisco applicare le definizioni quindi avendo mostrato che la funzione è di classe $c^1$ (cioè che esiste la derivata e che è continua nel punto ) posso affermare per il teorema del differenziale totale che la funzione è anche differenziabile
Sì.
$ (partial f)/(partial y) $ non è continua in $(x,0)$
continua vorrebbe dire che $ (partial f)/(partial y) (x_0,0)=lim_((x,y) -> (x_0,0))(partial f)/(partial y) $ ma il limite non esiste
continua vorrebbe dire che $ (partial f)/(partial y) (x_0,0)=lim_((x,y) -> (x_0,0))(partial f)/(partial y) $ ma il limite non esiste
infatti kashaman stiamo sbagliando qualcosa perche ho provato la definizione di differenziabilità e non esce zero infatti il limite non esiste perche supponendo che le derivate sono continue in tale punto e valgono proprio zero allora
$lim(h,k)->(0,0)|k^2cos(1/k)-0-0-0|/sqrt(h^2+k^2)=0$ ma non esce cosi perche la funzione oscilla tra -1 e 1 in tale punto quindi quel limite che ho scritto nel messaggio precedente è sbagliato ma non riesco a capire il perche è sbagliato
$lim(h,k)->(0,0)|k^2cos(1/k)-0-0-0|/sqrt(h^2+k^2)=0$ ma non esce cosi perche la funzione oscilla tra -1 e 1 in tale punto quindi quel limite che ho scritto nel messaggio precedente è sbagliato ma non riesco a capire il perche è sbagliato
il limite che hai calcolato nel post delle 13:02 è giusto
la funzione ammette derivata rispetto ad $y$ in $(x,0)$ ma quest'ultima non è continua in $(x,0)$
esistenza e continuità non sono 2 concetti equivalenti
la funzione ammette derivata rispetto ad $y$ in $(x,0)$ ma quest'ultima non è continua in $(x,0)$
esistenza e continuità non sono 2 concetti equivalenti
stormy in base a quello che dici tu per verificare la continuità della derivata applichi la definizione di continuità su la derivata cioe
$lim_((x,y)->(x_0,0)) 2ycos(1/y)+sen(1/y)$ e questo limite esce diverso da zero giusto ??
$lim_((x,y)->(x_0,0)) 2ycos(1/y)+sen(1/y)$ e questo limite esce diverso da zero giusto ??
per essere precisi,il limite non esiste proprio a causa di $sen1/y$
però hai afferrato il concetto
però hai afferrato il concetto
sisi infatti perche $-2y-1<=2ycos(1/y)+sin(1/y)<=2y+1$ e applicando confronto sia che il limite non sono convergenti infatti vanno tra -1 e +1
pero prima hai detto che quel limite che ho scritto prima è giusto(post 13.02) perche dovrebbe essere giusto ?? cioè io ho semplicemente applicato la definizione di derivata parziale nel punto 0 e quindi non dovrebbe uscirmi che quel limite non esiste ??
pero prima hai detto che quel limite che ho scritto prima è giusto(post 13.02) perche dovrebbe essere giusto ?? cioè io ho semplicemente applicato la definizione di derivata parziale nel punto 0 e quindi non dovrebbe uscirmi che quel limite non esiste ??
forse ho capito perche . allora in analisi uno se verificavo per definizione il lim rapporto incrementale allora verificavo anche la continuità della funzione in tale punto ma in analisi 2 questa cosa non vale perche se applico la definizone di lim rap incr verifico esistenza in tale punto della derivata ma non che essa sia continua perche la continuità mi dice che la funzione ovunque io prenda una direzione su R^2 e mi avvicino al punto 0 essa deve avere sempre lo stesso risultato invece il limite del rapporto incrementale mi dice che sul asse y preso un incremento io lo tendo a zero cioè su una specifica direzione
giusto il concetto ??
giusto il concetto ??
alessandrof10 , l'ultimo mio "si" non voleva essere un sì affermativo alla differenziabilità. Comunque .. per le funzioni a più variabili, la derivabilità non implica la continuità. Il concetto che meglio estende ciò è il concetto di differenziabilità, se una funzione è differenziabile in un punto allora è anche continua.
si pero il problema era su la continuità della derivata parziale è ovvio che se è continua la derivata quindi esiste la derivata per il teorema del diff totale è ivi differenziabile perciò ormai ci siamo capiti sul malinteso visto che ci sei è giusto il ragionamento che ho scritto nel messaggio precedente cosi mi chiarisco le idee per bene su questi concetti
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