Differenziabilità di una funzione a due variabili
Salve a tutti, sto risolvendo un esercizio che mi chiede di verificare la differenziabilità di una funzione e calcolarne il differenziale. Il problema è che la funzione risulta continua ma le derivate parziali sono diverse e quindi non è derivabile la funzione, a questo punto posso calcolare la differenziabilità??
$ f(x,y)= x^2+x(y-1)+2y$ se $x!=0, y!=0$
$ f(x,y)= x^2+x(y-1)+2y$ se $x!=0, y!=0$
Risposte
Devi calcolare il differenziabile in un punto?E comunque guarda che tra le condizioni affinchè :
$f(x,y)$ sia differenziabile in un punto $(x_0, y_0)$ sono:
1)$f(x,y)$ continua in$ (x_0, y_0) $
2)$f(x,y)$ è derivabile in$ (x_0,y_0)$ lungo ogni direzione
3)$f(x,y)$ ammette derivate parziali
Ora cosa intendi per le derivate parziali sono diverse quindi non è derivabile?
$f(x,y)$ sia differenziabile in un punto $(x_0, y_0)$ sono:
1)$f(x,y)$ continua in$ (x_0, y_0) $
2)$f(x,y)$ è derivabile in$ (x_0,y_0)$ lungo ogni direzione
3)$f(x,y)$ ammette derivate parziali
Ora cosa intendi per le derivate parziali sono diverse quindi non è derivabile?
per vedere se una funzione è differenziabile prima di tutto deve essere continua!
se hai una funzione definita a tratti e nel punto $((0),(0))$ la tua funzione vale $0$, mentre negli altri punti fa quello che vuole..
devi fare $ lim_((x,y)\to (0,0)) f(x,y) $ se risulta 0, allora è continua, se esce un altro numero o non so, allora NON è continua e NON è differenziabile..
Se invece risulta continua, per vedere se è differenziabile..
prendi un vettore $ \ul(v)=((v_1),(v_2)) $ tale che $ ||\ul(v)||=1 $ quindi hai un versore, e prendi un punto $ P=(x_0,y_0)^T $
ora fai la derivata direzionale con il limite.. $ lim_(t\to 0)(f(x_0+tv_1,y_0+tv_2)-f(x_0,y_0))/(t) $
il risultato di quel limite deve essere qualcosa di lineare, se ti accade che da quel limite esce qualcosa di NON lineare, allora la tua funzione non è differenziabile
se hai una funzione definita a tratti e nel punto $((0),(0))$ la tua funzione vale $0$, mentre negli altri punti fa quello che vuole..
devi fare $ lim_((x,y)\to (0,0)) f(x,y) $ se risulta 0, allora è continua, se esce un altro numero o non so, allora NON è continua e NON è differenziabile..
Se invece risulta continua, per vedere se è differenziabile..
prendi un vettore $ \ul(v)=((v_1),(v_2)) $ tale che $ ||\ul(v)||=1 $ quindi hai un versore, e prendi un punto $ P=(x_0,y_0)^T $
ora fai la derivata direzionale con il limite.. $ lim_(t\to 0)(f(x_0+tv_1,y_0+tv_2)-f(x_0,y_0))/(t) $
il risultato di quel limite deve essere qualcosa di lineare, se ti accade che da quel limite esce qualcosa di NON lineare, allora la tua funzione non è differenziabile
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