Differenziabilità di una funzione.

[stranigno]

Ciao a tutti. Ho un esercizio di analisi matematica due e vorrei alcuni chiarimenti, se possibile.

mi viene data questa funzione:

f(x,y)= $sqrt(x)$ + $sqrt(x^2-y)$

Mi viene chiesto di verificare se è differenziabile o meno nel punto $(1,1)$.

Io so che, se le derivate parziali della funzione, esistono e sono continue nel punto $(1,1)$, allora la funzione è differenziabile. Giusto?

Calcolo dunque le derivate parziali:

$(delf)/(delx) = 1/[2sqrt(x)] + x/sqrt(x^2-y)$

Subito mi accorgo che il punto $(1,1)$ , se sostituito in entrambe le derivate , mi dà:

$(delf(1,1))/(delx) = 1/2 + 1/0$

$(delf(1,1))/(dely) = -1/0$

Quindi che il punto (1,1) non mi dà la continuità di queste funzioni.

Posso terminare l'esercizio qui dicendo che la funzione non è differenziabile? Oppure devo comunque applicare la definizione di differenziabilità?

Grazie mille.

PS. Se ho scritto qualcosa di scorretto, correggetemi!

Antonio

[Plepp]

Ciao Antonio. Purtroppo, quando ti viene chiesto di verificare se una funzione è differenziabile o meno, ti tocca nel 90% dei casi applicare la definizione di funzione differenziabile in un punto: anche questo caso rientra nel 90% questo perchè sarebbe un banale esercizio di analisi 1 calcolare un paio di derivate e studiarne la continuità in un punto

Ciao

Giuseppe

[robe921]

E come si applica la definizione di funzione differenziabile in un punto? Un esempio concreto? (magari proprio questo esercizio)

[stranigno]

"Plepp":Ciao Antonio. Purtroppo, quando ti viene chiesto di verificare se una funzione è differenziabile o meno, ti tocca nel 90% dei casi applicare la definizione di funzione differenziabile in un punto: anche questo caso rientra nel 90% questo perchè sarebbe un banale esercizio di analisi 1 calcolare un paio di derivate e studiarne la continuità in un punto

Ciao

Giuseppe

Ciao Giuseppe, grazie per la risposta, ma non riesco a capire questo fatto:

doverei applicare il seguente limite:



Ma quando sostituisco nella derivata il punto $(1,1)$ mi viene sempre 1/0! Come vado avanti?

Grazie!
Antonio

EDIT: la foto non si vede completa, cmq la fine è *(y-y0)=0 (ovvero tutto quel limite deve essere =0)

[paolotesla91]

Ciao. Devi applicare questa definizione:

$lim_((h,k) -> (0,0)) |f(x+h,y+k)-f(x,y)-del_xf(x,y)h-del_yf(x,y)k|/|| (h,k) ||=0$



EDIT: sotto c'è la norma. Non capisco perchè non si vedano le parentesi.

[stranigno]

"paolotesla91":Ciao. Devi applicare questa definizione:

$lim_((h,k) -> (0,0)) |f(x+h,y+k)-f(x,y)-del_xf(x,y)h-del_yf(x,y)k|/|| (h,k) ||=0$



EDIT: sotto c'è la norma. Non capisco perchè non si vedano le parentesi.

Ciao, puoi farmi vedere come fai? Io non riesco proprio...

[paolotesla91]

Posta qualche tuo tentativo (come da regolamento) e poi ci soffermiamo dove incontri il problema.

P.S. La funzione non è differenziabile perchè, come hai scritto sopra, le derivate nel putno non esistono. Tuttavia è meglio sapere applicare almeno la definizione di differenziabilità.

[Plepp]

"paolotesla91":P.S. La funzione non è differenziabile perchè, come hai scritto sopra, le derivate nel putno non esistono. Tuttavia è meglio sapere applicare almeno la definizione di differenziabilità.

Si, infatti. Però devi sempre "accertarti" di questo fatto: spesso è indispensabile applicare la definizione di derivata parziale (il limite per bla bla bla...), come puoi vedere nell'esempio che ho postato qui sotto.

"robe92":
E come si applica la definizione di funzione differenziabile in un punto? Un esempio concreto? (magari proprio questo esercizio)

Ti incollo un mio esercizio di quando preparavo Analisi II

"Plepp, qualche tempo fa,":Dire se la seguente funzione è differenziabile nel punto $P=(0,0)$:
\[f(x,y)=|xy|\]
Svolgimento
Scriviamo il gradiente della funzione $f$:
\[\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{|xy|}{x},\ \dfrac{|xy|}{y}\right)\]
Per il teorema del differenziale totale, condizione sufficiente per la differenziabilità di una funzione in un punto è che le derivate parziali esistano e siano continue in tale punto. Tuttavia, nel caso di $P$, il teorema non ci permette di stabilire alcunchè in quanto tentando di valutare le espressioni trovate in $(0,0)$, si ha una forma indeterminata di tipo $[0/0]$. Ci occore dunque ricorrere alla definizione di derivata direzionale: si dice che $f$ è derivabile rispetto ad un versore $\mathbf{v}$ nel punto $\mathbf{x}_0$ se
\[\exists \lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{v})-f(\mathbf{x}_0)}{t}\in\mathbb{R}\]
Applicando la definizione, calcoliamo la derivata direzionale di $f$ rispetto al versore $\mathbf{u}_x=(1,0)$ (ossia calcoliamo la derivata parziale rispetto a $x$) nel punto $P$:
\[\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{f\left((0,0)+t(1,0)\right)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{|t\cdot 0|-|0|}{t}=0\]
Per calcolare la derivata parziale di $f$ rispetto all'$i$-esima variabile in $P$, si potrebbe procedere sia come appena visto, sia nella seguente modo (in questo caso calcoliamo la derivata parziale rispetto ad $y$):
\[\dfrac{\partial |xy|}{\partial y}\Big|_{(x,y)=(0,0)}=\dfrac{d(|0\cdot y|)}{dy}\Big|_{y=0}=\dfrac{d}{dy}(0)=0\]
Pertanto abbiamo:
\[\nabla f(0,0)=(0,0)\]
Ora per verificare che $f$ sia differenziabile in $P$, occore applicare direttamente la definizione: $f$ sarà differenziabile in $P$ se e solo se
\[\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)} \dfrac{f((0,0)+(h,k))-f(0,0)-\nabla f(0,0)\cdot(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\]
ossia se
\[\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)} \dfrac{|hk|}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\]
Passando in coordinate polari abbiamo:
\[ \dfrac{|hk|}{\sqrt{h^2+k^2}}=\dfrac{|\rho\cos\theta\rho\sin\theta|}{\rho}=\rho|\cos\theta\sin\theta|\]
Per dimostrare che $f(x,y)\rightarrow L$ per $(x,y)\rightarrow (0,0)$ è sufficiente riuscire a scrivere una maggiorazione del tipo:
\[0\leq|f(\rho,\theta)-L|\leq g(\rho)\]
dove $g(\rho)\rightarrow 0$ per $\rho\rightarrow 0$. In questo caso, ricordando che $L=0$ ed essendo $|\cos\theta\sin\theta|< 1$, abbiamo che:
\[0\leq\Big|\rho|\cos\theta\sin\theta|\Big|=\rho|\cos\theta\sin\theta|\leq g(\rho)=\rho\]
Per il teorema del confronto si ha che il limite vale proprio zero e, pertanto, $f$ è differenziabile in $P$.

[paolotesla91]

Si Plepp, è esattamente ciò che intendevo ma volevo che a farlo fosse lui e non tu. Ma vabbè fa niente

[Plepp]

"paolotesla91":Si Plepp, è esattamente ciò che intendevo ma volevo che a farlo fosse lui e non tu. Ma vabbè fa niente

Si ma infatti mi rivolgevo a lui, non a te era una precisazione tutto qui...