Differenziabilità di una funzione
[tex]$
f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{\log (x^2+y^2) \arctan (x^2y^2)}{|\sin (x^2+y^2)|^{\alpha}} & \text{se } xy \neq 0 \\
0 & \text{se } xy = 0
\end{cases}
$[/tex]
Discutere per quali valori di [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex]
Ovviamente, essendo le derivate parziali nulle in [tex](0,0)[/tex], si tratta di risolvere il limite:
[tex]$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\log (x^2+y^2) \arctan (x^2y^2)}{|\sin (x^2+y^2)|^{\alpha} \sqrt{x^2+y^2}}$[/tex] e vedere quando è nullo.
Considero la restrizione [tex]$f(x,x)= \frac{\log (2x^2) \arcatan (x^4)}{| \sin(2x^2)|^{\alpha} \sqrt{2}|x|} \to l \neq 0$[/tex] per [tex]x \to 0[/tex] (dovrebbe essere infinito, se non sbaglio) se [tex]2\alpha+1 \geq 4[/tex]. Quindi indipendentemente dalla possibile esistenza del limite, la funzione non è comunque differenziabile per [tex]\alpha \geq \frac{3}{2}[/tex].
Per i valori negativi del parametro, scrivo [tex]\alpha = -|\alpha|[/tex] e il seno se ne va al numeratore e il limite è 0, perché passando in coordinate polari:
[tex]$ |\frac{\log(\rho^2) \arctan(\rho^4 \sin^2\theta \cos^2\theta) \|sin(\rho^2)|^{|\alpha|}}{\rho}| \leq |\log(\rho^2)| |\rho^3 \sin^2\theta \cos^2\theta + \frac{o(\rho^4)}{\rho}| \to 0$[/tex]
(E' lecito porre [tex]o(\rho^4)=o(\rho^4 \sin^2\theta \cos^2 \theta)[/tex]? Io credo di sì perché il limite che sto calcolando dipende da [tex]\rho[/tex], quindi il resto è una costante, che si può supporre diversa da [tex]0[/tex]. Perché se fosse nulla, si annullerebbe il numeratore e il limite sarebbe già nullo.)
Posso fare la stessa cosa per [tex]\alpha = 0[/tex]
Sistemati questi due casi, non mi viene in mente procedere per [tex]\alpha \in (0,\frac{3}{2})[/tex].
Piccolo OT: ma come si fa a ingrandire le formule quando ci sono le frazioni spropositate?
EDIT: grazie, ora si vede bene.
f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{\log (x^2+y^2) \arctan (x^2y^2)}{|\sin (x^2+y^2)|^{\alpha}} & \text{se } xy \neq 0 \\
0 & \text{se } xy = 0
\end{cases}
$[/tex]
Discutere per quali valori di [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex]
Ovviamente, essendo le derivate parziali nulle in [tex](0,0)[/tex], si tratta di risolvere il limite:
[tex]$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\log (x^2+y^2) \arctan (x^2y^2)}{|\sin (x^2+y^2)|^{\alpha} \sqrt{x^2+y^2}}$[/tex] e vedere quando è nullo.
Considero la restrizione [tex]$f(x,x)= \frac{\log (2x^2) \arcatan (x^4)}{| \sin(2x^2)|^{\alpha} \sqrt{2}|x|} \to l \neq 0$[/tex] per [tex]x \to 0[/tex] (dovrebbe essere infinito, se non sbaglio) se [tex]2\alpha+1 \geq 4[/tex]. Quindi indipendentemente dalla possibile esistenza del limite, la funzione non è comunque differenziabile per [tex]\alpha \geq \frac{3}{2}[/tex].
Per i valori negativi del parametro, scrivo [tex]\alpha = -|\alpha|[/tex] e il seno se ne va al numeratore e il limite è 0, perché passando in coordinate polari:
[tex]$ |\frac{\log(\rho^2) \arctan(\rho^4 \sin^2\theta \cos^2\theta) \|sin(\rho^2)|^{|\alpha|}}{\rho}| \leq |\log(\rho^2)| |\rho^3 \sin^2\theta \cos^2\theta + \frac{o(\rho^4)}{\rho}| \to 0$[/tex]
(E' lecito porre [tex]o(\rho^4)=o(\rho^4 \sin^2\theta \cos^2 \theta)[/tex]? Io credo di sì perché il limite che sto calcolando dipende da [tex]\rho[/tex], quindi il resto è una costante, che si può supporre diversa da [tex]0[/tex]. Perché se fosse nulla, si annullerebbe il numeratore e il limite sarebbe già nullo.)
Posso fare la stessa cosa per [tex]\alpha = 0[/tex]
Sistemati questi due casi, non mi viene in mente procedere per [tex]\alpha \in (0,\frac{3}{2})[/tex].
Piccolo OT: ma come si fa a ingrandire le formule quando ci sono le frazioni spropositate?
EDIT: grazie, ora si vede bene.
Risposte
"Antimius":
Piccolo OT: ma come si fa a ingrandire le formule quando ci sono le frazioni spropositate?
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#401333
Qualcuno ha un hint?
Provo a dare il mio contributo.
Io passerei subito in cordinate polari ottenendo
$ (log(\rho^2) arctan(\rho^4 sin^2\theta cos^2\theta)) /(|sin(\rho^2)|^(\alpha)\rho)$
A questo punto osservo che
$arctan(\rho^4 sin^2\theta cos^2\theta)<=\pi/2$,
e che $ log(\rho^2) = 2log(\rho)$
Si arriva quindi a
$\pi log(\rho)/ \rho^(2\alpha +1)$ che tende a $0$ per $\alpha<-1/2$
Io passerei subito in cordinate polari ottenendo
$ (log(\rho^2) arctan(\rho^4 sin^2\theta cos^2\theta)) /(|sin(\rho^2)|^(\alpha)\rho)$
A questo punto osservo che
$arctan(\rho^4 sin^2\theta cos^2\theta)<=\pi/2$,
e che $ log(\rho^2) = 2log(\rho)$
Si arriva quindi a
$\pi log(\rho)/ \rho^(2\alpha +1)$ che tende a $0$ per $\alpha<-1/2$
Mmh, non metterei in mezzo nemmeno gli o-piccoli. Grazie! Secondo te comunque è giusta la relazione [tex]$o(\rho^4)=o(\rho^4 \sin^2\theta \cos^2 \theta)$[/tex]?
Però, non riesco comunque a trovare che succede per [tex]\alpha \in \big(0,\frac{3}{2}\big)[/tex]
Però, non riesco comunque a trovare che succede per [tex]\alpha \in \big(0,\frac{3}{2}\big)[/tex]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo