Differenziabilità di una funzione
Si consideri la seguente funzione:
$\{((e^(xy)-xy-1)/sqrt(x^2+y^2), if (x,y)!=(0,0)), (k, if (x,y)=(0,0)):}$ (sorry, non so dove sbaglio la formula che non va a capo)
Esistono valori di $k \in R$ per i quali f è continua in tutto il suo dominio?
Esistono valori di $k \in R$ per i quali f è differenziabile in tutto il suo dominio?
allora ho risolto il limite per $(x,y)->(0,0)$ e mi viene zero. quindi per k=0 f è continua.
dopodichè, e qui c'è il dubbio, calcolo $f_x(0,0)$ e $f_y(0,0)$ che mi vengono entrambe nulle.....
detto questo se non vado errato.... per $k=0$ f è continua, e le derivate parziali sono continue.... quindi per il teo del differenziale totale f è differenziabile... giusto? o sbagliato?
[mod="dissonance"]Formula corretta.[/mod]
$\{((e^(xy)-xy-1)/sqrt(x^2+y^2), if (x,y)!=(0,0)), (k, if (x,y)=(0,0)):}$ (sorry, non so dove sbaglio la formula che non va a capo)
Esistono valori di $k \in R$ per i quali f è continua in tutto il suo dominio?
Esistono valori di $k \in R$ per i quali f è differenziabile in tutto il suo dominio?
allora ho risolto il limite per $(x,y)->(0,0)$ e mi viene zero. quindi per k=0 f è continua.
dopodichè, e qui c'è il dubbio, calcolo $f_x(0,0)$ e $f_y(0,0)$ che mi vengono entrambe nulle.....
detto questo se non vado errato.... per $k=0$ f è continua, e le derivate parziali sono continue.... quindi per il teo del differenziale totale f è differenziabile... giusto? o sbagliato?
[mod="dissonance"]Formula corretta.[/mod]
Risposte
Vengono nulle nel punto $(0,0)$, ma come deduci che sono continue in quel punto?
pensavo che siccome f è continua e deriabile in quel punto anche le derivate fossero continue in quel punto...
quindi dovrei calcolare il limite in zero delle derivate parziali... che però potrebbe essere difficile...
quindi posso fare il $lim_(x,y->0,0) (f(x+x_o,y+y_o)-f(x_o,y_o)-f_x(x_o,y_ò)(x-x_o)-f_y(x_o,y_o)(y-y_o) )/sqrt((x-x_o)^2+(y-y_o)^2)$
$lim_(x,y->0,0) (e^(xy)-xy-1)/(x^2+y^2)$
$lim_(x,y->0,0) (e^(xy)-1)/(xy)*(xy)/(x^2+y^2)-(xy)/(x^2+y^2)$
noto che $lim_(x,y->0,o) (xy)/(x^2+y^2)$ diventa $lim_(rho->0) (rho^2costhetasintheta)/(rho^2) -> \nexists$
quindi f non è differenziabile giusto?
quindi posso fare il $lim_(x,y->0,0) (f(x+x_o,y+y_o)-f(x_o,y_o)-f_x(x_o,y_ò)(x-x_o)-f_y(x_o,y_o)(y-y_o) )/sqrt((x-x_o)^2+(y-y_o)^2)$
$lim_(x,y->0,0) (e^(xy)-xy-1)/(x^2+y^2)$
$lim_(x,y->0,0) (e^(xy)-1)/(xy)*(xy)/(x^2+y^2)-(xy)/(x^2+y^2)$
noto che $lim_(x,y->0,o) (xy)/(x^2+y^2)$ diventa $lim_(rho->0) (rho^2costhetasintheta)/(rho^2) -> \nexists$
quindi f non è differenziabile giusto?
Io proverei così:
$\frac{e^{xy}-xy-1}{x^2+y^2} = \frac{e^{xy}-xy-1}{x^2 y^2} \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}$.
La prima frazione tende a $1/2$, dal momento che $\lim_{t\to 0} \frac{e^t-t-1}{t^2} = \frac{1}{2}$;
per quanto riguarda la seconda frazione si ha
$\frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} \leq |xy|/2$,
quindi il limite vale $0$ (e di conseguenza la funzione è differenziabile nell'origine).
$\frac{e^{xy}-xy-1}{x^2+y^2} = \frac{e^{xy}-xy-1}{x^2 y^2} \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}$.
La prima frazione tende a $1/2$, dal momento che $\lim_{t\to 0} \frac{e^t-t-1}{t^2} = \frac{1}{2}$;
per quanto riguarda la seconda frazione si ha
$\frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} \leq |xy|/2$,
quindi il limite vale $0$ (e di conseguenza la funzione è differenziabile nell'origine).
si ma abbiamo ottenuto due risultati diversi... aspetto un terzo parere 
Beh, la matematica non è una questione di democrazia.
Fortunatamente, almeno in matematica, una cosa è giusta o sbagliata indipendentemente da quante persone sostengano una o l'altra tesi.
Fortunatamente, almeno in matematica, una cosa è giusta o sbagliata indipendentemente da quante persone sostengano una o l'altra tesi.
"Knuckles":
$lim_(x,y->0,0) (e^(xy)-1)/(xy)*(xy)/(x^2+y^2)-(xy)/(x^2+y^2)$
noto che $lim_(x,y->0,o) (xy)/(x^2+y^2)$ diventa $lim_(rho->0) (rho^2costhetasintheta)/(rho^2) -> \nexists$
quindi f non è differenziabile giusto?
No. Non puoi concludere che un limite spezzato non esiste solo perchè uno dei limiti in cui l'hai spezzato non esiste.
si ma la parte con l'esponenziale viene uno dopodiche ho due cose uguali, che con il limite in coordinate polari sono dipendenti da theta.... o no?
per vedere se una funzione è differenziabile come faccio?
.... non dico tu abbia sbagliato per l'amor del cielo! è solo che quei passaggi che hai fatto non ne ho capito il senso...tutto li, così aspettavo un aiuto con metodi più simili ai miei... scusa
per vedere se una funzione è differenziabile come faccio?
.... non dico tu abbia sbagliato per l'amor del cielo! è solo che quei passaggi che hai fatto non ne ho capito il senso...tutto li, così aspettavo un aiuto con metodi più simili ai miei... scusa
quindi come devo procedere per vedere se la funzione è differenziabile?
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