Differenziabilità di una funzione
$ f(x,y): R^2->R $ è uguale a $ (x^3+y^4)/(x^2+y^2) $ quando $ (x,y)≠(0,0) $ e a $ 0 $ quando $ (x,y)=(0,0) $ .
voglio studiarne la differenziabilità nell'origine quindi imposto il limite: $ lim_((x,y) -> (0,0)) (f(x,y)-f(0,0)- <∇f(0,0),(x,y)>)/(√(x^2+y^2))=(y^4-xy^2)/(x^2+y^2)^(3/2) $ e questo coincide con quello che scrive il prof. ora lui procede dicendo che se ci avviciniamo all'origine lungo la retta y=x troviamo che $ lim_((x,y) -> (0,0)) (f(t,t)-f(0,0)- <∇f(0,0),(t,t)>)/(√(t^2+t^2))=(t^4-t^3)/(2t^2)^(3/2) $ .
vi chiedo per favore di spiegarmi il passaggio che segue: $ (t^4-t^3)/(2t^2)^(3/2)=2^(-3/2)((√|t|)+t/(|t|)) $
voglio studiarne la differenziabilità nell'origine quindi imposto il limite: $ lim_((x,y) -> (0,0)) (f(x,y)-f(0,0)- <∇f(0,0),(x,y)>)/(√(x^2+y^2))=(y^4-xy^2)/(x^2+y^2)^(3/2) $ e questo coincide con quello che scrive il prof. ora lui procede dicendo che se ci avviciniamo all'origine lungo la retta y=x troviamo che $ lim_((x,y) -> (0,0)) (f(t,t)-f(0,0)- <∇f(0,0),(t,t)>)/(√(t^2+t^2))=(t^4-t^3)/(2t^2)^(3/2) $ .
vi chiedo per favore di spiegarmi il passaggio che segue: $ (t^4-t^3)/(2t^2)^(3/2)=2^(-3/2)((√|t|)+t/(|t|)) $
Risposte
C'è un errore da qualche parte, o è stata copiata male l'identità qui sul forum o è proprio sbagliata a prescindere: la frazione $\frac{t^4-t^3}{(2t^2)^{3/2}}$ è nulla per $t=1$ ma $2^{-3/2}\left(\sqrt{|t|}+\frac{t}{|t|}\right)$ è non nulla per $t=1$, quindi certamente quella non è un'identità.
Non è che c'è un meno tra le due quantità nella parentesi tonda presente nell'espressione finale? Inoltre, credo che il modulo di $|t|$ nella radice debba essere elevato al quadrato; insomma, credo che l'espressione corretta sia
$$\frac{t^4-t^3}{(2t^2)^{3/2}}=2^{-3/2} \left(\sqrt{|t|^2}-\frac{t}{|t|}\right)$$
Per dimostrarlo, basta fare un po' di algebra: raccogliendo a fattor comune e ricordando che valgono $|x|^n=|x^n|$, $\sqrt{x^2}=|x|$ e che, essendo $x^2 \geq 0$, è $x^2=|x^2|$. Provaci!
Non è che c'è un meno tra le due quantità nella parentesi tonda presente nell'espressione finale? Inoltre, credo che il modulo di $|t|$ nella radice debba essere elevato al quadrato; insomma, credo che l'espressione corretta sia
$$\frac{t^4-t^3}{(2t^2)^{3/2}}=2^{-3/2} \left(\sqrt{|t|^2}-\frac{t}{|t|}\right)$$
Per dimostrarlo, basta fare un po' di algebra: raccogliendo a fattor comune e ricordando che valgono $|x|^n=|x^n|$, $\sqrt{x^2}=|x|$ e che, essendo $x^2 \geq 0$, è $x^2=|x^2|$. Provaci!
sarà sicuramente sbagliato il risultato del mio professore, delle sviste sono frequenti... però non riesco ad ottenere nulla che si avvicini nè al suo nè al tuo risultato... puoi aiutarmi con i passaggi algebrici?
Sì, certo.
$$\frac{t^4-t^3}{(2t)^{3/2}}=\frac{t^2(t^2-t)}{2^{3/2}(t^2)^{3/2}}=2^{-3/2} \cdot \frac{|t^2| (|t^2|-t)}{(\sqrt{t^2})^3}=2^{-3/2} \cdot \frac{|t|^2\cdot (|t|^2-t)}{|t|^3}$$
$$=2^{-3/2} \cdot \frac{|t|^2(|t|^2-t)}{|t|^2 \cdot |t|}=2^{-3/2} \cdot \frac{|t|^2-t}{|t|}=2^{-3/2} \cdot \left(\frac{|t|^2}{|t|}-\frac{t}{|t|}\right)=2^{-3/2} \cdot \left(|t|-\frac{t}{|t|}\right)$$
Quindi in realtà neanche ha troppo senso scrivere $|t|=\sqrt{t^2}=\sqrt{|t^2|}=\sqrt{|t|^2}$, ma te lo scrivo perchè almeno così abbiamo il risultato più simile possibile al suo, ossia
$$2^{-3/2} \cdot \left(|t|-\frac{t}{|t|}\right)=2^{-3/2} \cdot \left(\sqrt{|t|^2}-\frac{t}{|t|}\right)$$
Dove ho usato svariate volte che, appunto, $|t|^2=|t^2|$, che $t^2=|t^2|$ perché $t^2 \geq 0$ e che $\sqrt{t^2}=|t|$.
Comunque, ti consiglio ardentemente di sporcarti le mani con questi conti: altrimenti non imparerai mai a farli!
$$\frac{t^4-t^3}{(2t)^{3/2}}=\frac{t^2(t^2-t)}{2^{3/2}(t^2)^{3/2}}=2^{-3/2} \cdot \frac{|t^2| (|t^2|-t)}{(\sqrt{t^2})^3}=2^{-3/2} \cdot \frac{|t|^2\cdot (|t|^2-t)}{|t|^3}$$
$$=2^{-3/2} \cdot \frac{|t|^2(|t|^2-t)}{|t|^2 \cdot |t|}=2^{-3/2} \cdot \frac{|t|^2-t}{|t|}=2^{-3/2} \cdot \left(\frac{|t|^2}{|t|}-\frac{t}{|t|}\right)=2^{-3/2} \cdot \left(|t|-\frac{t}{|t|}\right)$$
Quindi in realtà neanche ha troppo senso scrivere $|t|=\sqrt{t^2}=\sqrt{|t^2|}=\sqrt{|t|^2}$, ma te lo scrivo perchè almeno così abbiamo il risultato più simile possibile al suo, ossia
$$2^{-3/2} \cdot \left(|t|-\frac{t}{|t|}\right)=2^{-3/2} \cdot \left(\sqrt{|t|^2}-\frac{t}{|t|}\right)$$
Dove ho usato svariate volte che, appunto, $|t|^2=|t^2|$, che $t^2=|t^2|$ perché $t^2 \geq 0$ e che $\sqrt{t^2}=|t|$.
Comunque, ti consiglio ardentemente di sporcarti le mani con questi conti: altrimenti non imparerai mai a farli!
hai assolutamente ragione e seguirò il tuo consiglio, grazie!
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