Differenziabilità di una funzione

[gcappellotto47]

Salve a tutti
sono alle prese con il seguente esercizio:
provare che la funzione
\[f(x,y) = \begin{cases} y^2\cos \frac{1}{y} &\mbox{ se } x \in \mathbb{R}, y \neq 0\\
0 & \mbox{ se } x \in \mathbb{R}, y=0\end{cases} \]

è differenziabile nel punto $(0,0)$, ma non soddisfa, in tale punto, le ipotesi del teorema del differenziale totale.

Trovo le derivate parziali:
\[ \frac{\partial f}{\partial x}=0 \]
\[ \frac{\partial f}{\partial y}=\sin \frac{1}{y} +2y\cos \frac{1}{y} \]

Se non sbaglio, il teorema del differenziale totale prevede che vi sia una palla dove esistono le derivate parziali in ogni punto della stessa e che le derivate parziali siano continue.
Quello che non capisco è come sia possibile che la $f$ sia differenziabile ma non soddisfi il teorema del differenziale totale.
Gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti.
Giovanni C.

[stormy1]

semplicemente perchè le ipotesi del teorema sono una condizione sufficiente ma non necessaria