Differenziabilità di una funzione

[LUCIANO741]

So che la domanda può sembrare assurda ma sono entrato nel pallone.
La "definizione di differenziabilità" di una funzione può essere dimostrata come definizione in se ? o va presa come verità e basta ?
grazie

[gabriella127]

Che intendi dire? Una definizione è una definizione, va presa per quello che è, i teoremi si dimostrano. Ma credo che questo tu lo sappia, forse intendi dire un'altra cosa, qualche difficoltà con la definizione di differenziale di una funzione.

[4mrkv]

"LUCIANO74":---

La puoi ricavare in modo intuitivo. Se consideri una funzione \(f\) da \(\mathbb{R}\) ad \(\mathbb{R}\), con \(g(h)=(f(a+h)-f(a))/h\) calcoli la derivata prima \(\lim_{h\to 0}g(h)=f'(a)\in \mathbb{R}\) in \(a \in \mathbb{R}\). Posto \(t(h)=f'(a)h/h\) hai (puoi verificare secondo la definizione di limite che il limite della somma delle due funzioni è corretto)
\begin{split}
\lim_{h\to 0}(f(a+h)-f(a)-f'(a)h)/h
=&\lim_{h\to 0}(g(h)-t(h)) \\
=&\lim_{h\to 0}g(h)-\lim_{h\to 0}t(h) \\
=&f'(a)-f'(a)=0
\end{split}
Su \(\mathbb{R}^{n}\) non c'è la divisione quindi devi ricondurti alla divisione in \(\mathbb{R}\). Quello che fai quindi è mettere la norma a numeratore e denominatore. Poi non va bene neppure \(f'(a)h\) che è un prodotto, ma è anche una applicazione lineare in \(h\) quindi la si riscrive come \(L_{a}(h)\). Segue la condizione di differenziabilità
\[
\lim_{h\to 0}\frac{|f(a+h)-f(a)-L_{a}(h)|}{|h|}=0
\]

[LUCIANO741]

ok, grazie 1000

[LUCIANO741]

Ancora un dubbio, l'applicazione lineare $L_a(h)$ può essere anche del tipo: $(delz)/(delv_1)*h$+$(delz)/(delv_2)*h$ con $(delz)/(delv_1)$ e $(delz)/(delv_2)$ calcolate in direzioni linearmente indipendenti, oppure devo sempre considerare il valore delle derivate parziali secondo gli assi coordinati ?
Da quello che ho capito, le derivate parziali $(delz)/(delv_x)$ e $(delz)/(delv_y)$ vanno bene perche più facili da calcolare ma vanno altrettanto bene due direzioni qualunque anche non ortogonali tra loro purchè non parallele.

grazie ancora

[gugo82]

Prova a dimostrarlo.

[LUCIANO741]

non saprei come fare !!
Ho provato a consultare qualche testo di analisi ma la questione non viene mai affrontata