Differenziabilità di una funzione

[Tommy85]

$f(x,y) = x^3+xy-y^3$
devo stabilire se questa funzione è differenziabile....quindi devo vedere se è continua la funzione e se sono continue le derivate parziali...se lo sono f sara differenziabile giusto?
sinceramente mi è difficile risolvere questi esercizi forse perchè sono ancora molto insicuro...cmq di regola la funzione dovrebbe essere continua nel piano visto che è composizione di funzioni continue...giusto?

[Zero87]

"scarsetto":quindi devo vedere se è continua la funzione e se sono continue le derivate parziali...se lo sono f sara differenziabile giusto?

Sì, ricordo un teorema che diceva questo.

"scarsetto":cmq di regola la funzione dovrebbe essere continua nel piano visto che è composizione di funzioni continue...giusto?

Giusto anche qui, anche se il teorema che lo afferma l'ho trovato solo nell'Apostol (Calculus, volume I). L'equivalente per funzioni in una variabile, invece, sta ovunque...

[Camillo]

Certamente $f(x,y)$ è continua e differenziabile ovunque in $RR^2$ in quanto
è composizione di funzioni continue
le sue derivate sono pure continue
questo è il caso più semplice , si tratta di un polinomio.

[Tommy85]

Camillo:Certamente $f(x,y)$ è continua e differenziabile ovunque in $RR^2$ in quanto
è composizione di funzioni continue
le sue derivate sono pure continue
questo è il caso più semplice , si tratta di un polinomio.

quindi dovrebbe essere differenziabile la funzione?...per giustificare la risposta andrebbe bene questo?(visto che la funzione ècontinua nel piano perchècomposta da 2 funzioni continue..poi calcolo le derivate parziali e vedo se sono anch'esse continue giusto?

[Camillo]

Tutto corretto quello che dici .

[Tommy85]

ora provo ad andare avanti...$fx(x,y)=3x^2+y$ e $fy(x,y)=x-3y^2$ visto che sono entrambe continue la funzione è differenziabile per il teorema del differenziale totale...esatto?

[Camillo]

Esatto , non avevi neanche bisogno di calcolare le derivate parziali per verificarne la continuità dato che si partiva da una funzione polinomiale.

[Tommy85]

Camillo:Esatto , non avevi neanche bisogno di calcolare le derivate parziali per verificarne la continuità dato che si partiva da una funzione polinomiale.

cm mai questo?...perchè se la funzione è polinomiale vuol dire che anche le sue derivate sono continue?

[Zero87]

"scarsetto":cm mai questo?...perchè se la funzione è polinomiale vuol dire che anche le sue derivate sono continue?

Non ricordo se c'è qualche risultato a proposito, ma le funzioni polinomiali sono $C^\infty$.

Una dimostrazione logico/matematico/maccheronica sta nel fatto che derivando un polinomio ottieni un polinomio di un grado inferiore rispetto alla variabile rispetto alla quale derivi: questo ti fa concludere che la derivata di un polinomio, essendo un altro polinomio, è comunque continua.
Vai avanti così fino a quando arrivi ad un polinomio di un grado zero (una costante) che è una funzione continua e la derivata è zero. In seguito tutte le derivate sono zero ma sai che la funzione identicamente nulla è, comunque, continua.

[Tommy85]

grazie mille