Differenziabilità di funzione di due variabili reali
Sia
\[
f(x,y) = \frac {\sin(x^2+y)}{|x+y|}
\]
se \( y \ne -x\) e prolungata in \((0,0)\) e \((1-1)\) col valore \(0\). Studiarne la differenziabilità
Ho verificato che in \((0,0)\) e \((1,-1)\) non è continua, dunque non differenziabile. In più, in quei punti non esiste almeno una delle derivate parziali. Ma negli altri punti, con un po' di immaginazione, trovo che le derivate parziali, sia a "destra" che a "sinistra" per via del valore assoluto, sono continue perché composizione e rapporto di funzioni continue (al numeratore ci sono seni e polinomi, al denominatore un polinomio), quindi per il Teorema del Differenziale Totale direi che in quei punti (in cui, cioè, \(y \ne -x\) e \((x,y) \ne (0,0)\)) la funzione è differenziabile...
Ora, così mi sembra troppo facile, dov'è che sbaglio?
[size=85]PS. Scusate per come ho scritto la funzione ma non sono riuscito a scriverla per casi... Su Latex mi riescei, qui sul forum no...[/size]
\[
f(x,y) = \frac {\sin(x^2+y)}{|x+y|}
\]
se \( y \ne -x\) e prolungata in \((0,0)\) e \((1-1)\) col valore \(0\). Studiarne la differenziabilità
Ho verificato che in \((0,0)\) e \((1,-1)\) non è continua, dunque non differenziabile. In più, in quei punti non esiste almeno una delle derivate parziali. Ma negli altri punti, con un po' di immaginazione, trovo che le derivate parziali, sia a "destra" che a "sinistra" per via del valore assoluto, sono continue perché composizione e rapporto di funzioni continue (al numeratore ci sono seni e polinomi, al denominatore un polinomio), quindi per il Teorema del Differenziale Totale direi che in quei punti (in cui, cioè, \(y \ne -x\) e \((x,y) \ne (0,0)\)) la funzione è differenziabile...
Ora, così mi sembra troppo facile, dov'è che sbaglio?
[size=85]PS. Scusate per come ho scritto la funzione ma non sono riuscito a scriverla per casi... Su Latex mi riescei, qui sul forum no...[/size]
Risposte
Nessuno? 
"giuliofis":
Nessuno?
Dai ragazzi, so che mi potete aiutare!
"giuliofis":
[quote="giuliofis"]Nessuno?
Dai ragazzi, so che mi potete aiutare![/quote]
Ciao Giulio,
no io non so aiutarti posso solo farti domande e non so neanche se siano utili, ma se ti accontenti...
allora la nostra funzione vale 0 lungo la bisettrice del II e IV quadrante... Proviamo a vedere cosa succede se ci avviciniamo all'origine lungo la bisettrice del I e III quadrante, quando $y=x$. In tal caso come viene il limite?
$lim_(x->0) (sin (x^2+x))/|2x|$ non so se è corretto, dimmelo tu!
Se si vediamo cosa succede se ci avviciniamo dalla semiretta positiva (I quadrante) e poi da quella negativa (III quadrante).
"gio73":
[quote="giuliofis"][quote="giuliofis"]Nessuno?
Dai ragazzi, so che mi potete aiutare![/quote]
Ciao Giulio,
no io non so aiutarti posso solo farti domande e non so neanche se siano utili, ma se ti accontenti...
allora la nostra funzione vale 0 lungo la bisettrice del II e IV quadrante... Proviamo a vedere cosa succede se ci avviciniamo all'origine lungo la bisettrice del I e III quadrante, quando $y=x$. In tal caso come viene il limite?
$lim_(x->0) (sin (x^2+x))/|2x|$ non so se è corretto, dimmelo tu!
Se si vediamo cosa succede se ci avviciniamo dalla semiretta positiva (I quadrante) e poi da quella negativa (III quadrante).[/quote]
Avevo già verificato la non continuità in punti del degenere (come richiesto dal testo)...
D'accordo Giulio, dunque il limite fa 0, sicuro sicuro? (ehi non la so la risposta)
A me piace cercare di farmi un'idea dell'aspetto che ha la nostra funzione per poi avere delle idee.
Se la tagliamo lungo la bisettrice I e III quadrante vedo il rapporto tra una quantità che oscilla tra 1 e -1 e una che diventa sempre più grande, mi sembra di vedere una sinusoide che si smorza man mano che ci allontaniamo dall'origine.
Concentriamoci nell'origine a me sembra che se arriviamo dal I quadrante otteniamo un risultato positivo per il limite, mentre se arriviamo dal III ne otteniamo uno negativo.
Ora vediamo cosa succede se tagliamo la nostra funzione con rette parallele alla bisettrice I e III quadrante: quando ci avviciniamo alla bisettrice II e IV il limite è sempre 0? Io non ci scommetterei... A naso direi di no, perchè al denominatore ho sempre una quantità piccola piccola e positiva e al numeratore una quantità che varia oscillando tra -1 e 1
Se intorno ai punti della bisettrice II e IV quadrante faccio dei circoletti e vedo cosa succede mi pare che la nostra funzione non sia affatto continua.
probabilmente ho preso un grosso abbaglio (spero che intervenga qualcuno di meglio o forse anche tu puoi trovare delle falle nel mio ragionare e di ciò ti ringrazio); mi scuso se non ti sono d'aiuto, ma a me sembra che la nostra funzione sia un foglio che tende ad appiattirsi quando ci allontaniamo dall'origine ma in prossimità della bisettrice (II e IV) si impenna ogni tanto a $+oo$ poi passa a 0 poi scende a $-oo$ poi di nuovo 0 e via così.
A me piace cercare di farmi un'idea dell'aspetto che ha la nostra funzione per poi avere delle idee.
Se la tagliamo lungo la bisettrice I e III quadrante vedo il rapporto tra una quantità che oscilla tra 1 e -1 e una che diventa sempre più grande, mi sembra di vedere una sinusoide che si smorza man mano che ci allontaniamo dall'origine.
Concentriamoci nell'origine a me sembra che se arriviamo dal I quadrante otteniamo un risultato positivo per il limite, mentre se arriviamo dal III ne otteniamo uno negativo.
Ora vediamo cosa succede se tagliamo la nostra funzione con rette parallele alla bisettrice I e III quadrante: quando ci avviciniamo alla bisettrice II e IV il limite è sempre 0? Io non ci scommetterei... A naso direi di no, perchè al denominatore ho sempre una quantità piccola piccola e positiva e al numeratore una quantità che varia oscillando tra -1 e 1
Se intorno ai punti della bisettrice II e IV quadrante faccio dei circoletti e vedo cosa succede mi pare che la nostra funzione non sia affatto continua.
probabilmente ho preso un grosso abbaglio (spero che intervenga qualcuno di meglio o forse anche tu puoi trovare delle falle nel mio ragionare e di ciò ti ringrazio); mi scuso se non ti sono d'aiuto, ma a me sembra che la nostra funzione sia un foglio che tende ad appiattirsi quando ci allontaniamo dall'origine ma in prossimità della bisettrice (II e IV) si impenna ogni tanto a $+oo$ poi passa a 0 poi scende a $-oo$ poi di nuovo 0 e via così.
"gio73":
D'accordo Giulio, dunque il limite fa 0, sicuro sicuro? (ehi non la so la risposta)
Il limite non fa 0, sennò in quei punti (\((0,0)\) e \((1,-1)\)) sarebbe continua, e l'esercizio mi chiede di verificare che non lo è...
Il mio problema è sulla differenziabilità, non so se l'ho fatto bene...
Comunque la funzione è questa:
[img]http://www4e.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP105071a227e47ffaa21ii000034gaf88f57d33g66?MSPStoreType=image/gif&s=16&w=240&h=191&cdf=MeshControl&cdf=RangeControl[/img]
Mi fa piacere che tu abbia messo il disegno, me l'ero immaginata circa così.
Ora però forse sono io che non riesco a seguirti... io direi così, ma senza nessuna autorevolezza intendiamoci!, la funzione è continua e differenziabile se stiamo alla larga dalla bisettrice II e IV, invece se ci avviciniamo alla bisettrice ci sono dei punti intorno ai quali la nostra funzione si avvicina a 0, come l'origine e il punto $P(1;-1)$, mentre vicino ad altri punti della bisettrice abbiamo visto che si impenna e si allontana da 0, o verso l'alto o verso il basso.
Ora qual è di preciso la domanda? Se stiamo vicino a quei punti, l'origine e P ,e diciamo che lì dove la funzione non è definita (si annulla il denominatore) vale 0 allora è differenziabile? E' questa la domanda?
Continuo a sperare che venga qualcuno in nostro aiuto, io non sono per niente sicura di me e non vorrei confonderti le idee!
Ora però forse sono io che non riesco a seguirti... io direi così, ma senza nessuna autorevolezza intendiamoci!, la funzione è continua e differenziabile se stiamo alla larga dalla bisettrice II e IV, invece se ci avviciniamo alla bisettrice ci sono dei punti intorno ai quali la nostra funzione si avvicina a 0, come l'origine e il punto $P(1;-1)$, mentre vicino ad altri punti della bisettrice abbiamo visto che si impenna e si allontana da 0, o verso l'alto o verso il basso.
Ora qual è di preciso la domanda? Se stiamo vicino a quei punti, l'origine e P ,e diciamo che lì dove la funzione non è definita (si annulla il denominatore) vale 0 allora è differenziabile? E' questa la domanda?
Continuo a sperare che venga qualcuno in nostro aiuto, io non sono per niente sicura di me e non vorrei confonderti le idee!
"gio73":
invece se ci avviciniamo alla bisettrice ci sono dei punti intorno ai quali la nostra funzione si avvicina a 0, come l'origine e il punto $P(1;-1)$, mentre vicino ad altri punti della bisettrice abbiamo visto che si impenna e si allontana da 0, o verso l'alto o verso il basso.
No, il limite non vale \(0\) (quindi la funzione non si avvicina a \(0\)), e infatti la prima domanda del testo mi chiedeva di dimostrare che nell'origine e in \((1-1)\) la funzione non è continua.
"gio73":
Ora qual è di preciso la domanda? Se stiamo vicino a quei punti, l'origine e P ,e diciamo che lì dove la funzione non è definita (si annulla il denominatore) vale 0 allora è differenziabile? E' questa la domanda?
No. La domanda è: "Siccome ad occhio direi che le derivate parziali esistono e sono continue (in quanto prodotto, quoziente e composizione di seni e polinomi) tranne che in \((0,0)\) e in \((1,-1)\) (negli altri punti della bisettrice la funzione non è definita, quindi non me ne preoccupo della differenziabilità!), allora è differenziabile in ogni punto tranne che in \((0,0)\) e in \((1,-1)\). È giusto questo ragionamento?"
Ciao ragazzi 
Mi ritrovo con l'affermazione di giuliofis, $f$ non è continua in quei due punti (il limite non esiste; per $P=(0,0)$ basta restringersi all'asse $y$, e viene una roba che si comporta come $\text{sgn}(y)$; per $Q=(1,-1)$ ci si può restringere alla retta $x=1$, e si ottiene una roba simile).
E' continua, invece, "nel resto del mondo" (mondo di cui non fa parte, come dice giulio, la bisettrice $y=x$, ad eccezione di $P$ e $Q$), e in base alle considerazioni di giuliofis la funzione è differenziabile, mi pare, per il Teorema del differenziale totale.
Scusate se sono abbastanza conciso, ma sto nella [size=85]cacca[/size] fino alle sopracciglia con Fisica II...Aiuto
perchè non posso studiare solo Analisi??? 
Mi ritrovo con l'affermazione di giuliofis, $f$ non è continua in quei due punti (il limite non esiste; per $P=(0,0)$ basta restringersi all'asse $y$, e viene una roba che si comporta come $\text{sgn}(y)$; per $Q=(1,-1)$ ci si può restringere alla retta $x=1$, e si ottiene una roba simile).
E' continua, invece, "nel resto del mondo" (mondo di cui non fa parte, come dice giulio, la bisettrice $y=x$, ad eccezione di $P$ e $Q$), e in base alle considerazioni di giuliofis la funzione è differenziabile, mi pare, per il Teorema del differenziale totale.
Scusate se sono abbastanza conciso, ma sto nella [size=85]cacca[/size] fino alle sopracciglia con Fisica II...Aiuto
perchè non posso studiare solo Analisi???
E' arrivata la cavalleria! Grazie Plepp
Ti lascio studiare in pace, io gli esami li ho finiti da un pezzo e i miei dubbi non hanno fretta.
Ti lascio studiare in pace, io gli esami li ho finiti da un pezzo e i miei dubbi non hanno fretta.
"Plepp":
Ciao ragazzi
Mi ritrovo con l'affermazione di giuliofis, $f$ non è continua in quei due punti (il limite non esiste; per $P=(0,0)$ basta restringersi all'asse $y$, e viene una roba che si comporta come $\text{sgn}(y)$; per $Q=(1,-1)$ ci si può restringere alla retta $x=1$, e si ottiene una roba simile).
E' continua, invece, "nel resto del mondo" (mondo di cui non fa parte, come dice giulio, la bisettrice $y=x$, ad eccezione di $P$ e $Q$), e in base alle considerazioni di giuliofis la funzione è differenziabile, mi pare, per il Teorema del differenziale totale.
Beeello quindi ho fatto bene.. Un'oasi felice tra le prove d'esame di Cacolo2!
"Plepp":
Scusate se sono abbastanza conciso, ma sto nella [size=85]cacca[/size] fino alle sopracciglia con Fisica II...Aiuto
Io invece non vedo l'ora di iniziarli i corsi del secondo anno... Elettromagnetismo, Meccanica Analitica, Metodi Matematici... Deve essere bellissimo!
[OT]
Fisica II, ahimè, ce l'ho al primo anno. Sono organizzati come il piffero i nostri corsi (non solo i nostri, un po' ovunque è così). Invidio in ogni caso il tuo entusiasmo...io, purtroppo, non ne ho nemmeno un briciolo (anzi, se ci penso mi viene l'ansia, non per la difficoltà, ma perchè detesto queste materie...non quelle che hai citato, ma quelle più "tecniche", assieme a tutto ciò che è Fisica Generale ma che non è Meccanica), e per questo sono costretto ad andar via...
Tu? Anche tu studi Meccanica o affini?
[/OT]
@Gio: ehi, non esageriamo eh!
Fisica II, ahimè, ce l'ho al primo anno. Sono organizzati come il piffero i nostri corsi (non solo i nostri, un po' ovunque è così). Invidio in ogni caso il tuo entusiasmo...io, purtroppo, non ne ho nemmeno un briciolo (anzi, se ci penso mi viene l'ansia, non per la difficoltà, ma perchè detesto queste materie...non quelle che hai citato, ma quelle più "tecniche", assieme a tutto ciò che è Fisica Generale ma che non è Meccanica), e per questo sono costretto ad andar via...
Tu? Anche tu studi Meccanica o affini?
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@Gio: ehi, non esageriamo eh!
"Plepp":
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Tu? Anche tu studi Meccanica o affini?
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[OT]
No, sono al primo anno di Fisica! Almeno da quel che sembra (e spero di non ricredermi) ogni anno diventerà sempre più bello! Questo primo anno di Università mi ha fatto ripiacere la Matematica (soprattutto grazie ad un professore di Geometria fenomenale, il miglior professore che abbia mai avuto assieme a quello di Filosofia del liceo) e amare ancora di più quel poco di Fisica che per il momento ho affrontato. Non vedo l'ora di seguire i corsi più avanzati!
[/OT]
[OT]
Ah, ecco, ora mi spiego parecchie cose
Beh, che dire, buona fortuna per questo e per i prossimi anni! Ti auguro che ciò che fai continui a piacerti ed entusiasmarti fino alla fine, e pure dopo!
Ciao
Giuseppe
[/OT]
Ah, ecco, ora mi spiego parecchie cose
Beh, che dire, buona fortuna per questo e per i prossimi anni! Ti auguro che ciò che fai continui a piacerti ed entusiasmarti fino alla fine, e pure dopo!Ciao
Giuseppe
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"Plepp":
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Ah, ecco, ora mi spiego parecchie cose
[/OT]
Che cosa?
te lo scrivo in PM, altrimenti apriamo un'inutile "guerra di religione".
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo