Differenziabilità, derivate direzionali, funzione continua
La funzione non è continua perchè in coordinate polari il limite dipende dall'angolo e non da $\rho$.
Le derivate parziali, prime, seconde ecc ecc sono sempre nulle ed esistono sempre in $(0,0)$ essendo in quel punto la funzione nulla, giusto?
Perchè le derivate direzionali in $(0,0)$ non esistono?
Poi è chiaro che se la funzione non è neanche continua non può essere differenziabile.
Risposte
Secondo me esistono...
Edit: letto male il testo, vedi sotto.
Edit: letto male il testo, vedi sotto.
sono le dispense del mio professore...non saprei!
Di nuovo come nell'altra discussione (e seguendo il fatto che anche Rigel ti ha confermato che esistono le derivate parziali), nei punti "fastidiosi" devi usare la definizione per calcolarle. Ho idea che tu debba fare un buon studio della teoria, prima di procedere oltre.
La derivata parziale rispetto a $x$ (vale la stessa cosa per $y$):
$\lim_(t ->0) (f[ (0,0) + t\ (1,0)] - f (0,0)) / t = 0$
Mentre per le derivate direzionali ottengo $(v_1\ v_2\) / (t (v_1^2 + v_2^2)) $ con $t->0$ e non capisco la risposta c) del professore
$\lim_(t ->0) (f[ (0,0) + t\ (1,0)] - f (0,0)) / t = 0$
Mentre per le derivate direzionali ottengo $(v_1\ v_2\) / (t (v_1^2 + v_2^2)) $ con $t->0$ e non capisco la risposta c) del professore
Scusa, ha ragione il tuo professore! Ho letto male il testo. Sorry...
Chiediti in che caso il limite che hai scritto viene un valore finito, a seconda di come scegli $v_1, v_2$...
però non capisco io ho calcolato le derivate direzionali in una direzione generica e come faccio a dire che non esistono..?
Quel limite, se $v_1\ne 0, v_2\ne 0$ va ad infinito, ergo le derivate non esistono.
Se invece uno dei due valori è nullo...
Se invece uno dei due valori è nullo...
quando almeno uno tra $v_1$ e $v_2$ è zero! cioè le derivate parziali...
Questa cambia di poco e volevo discuterla con voi.
La funzione non è continua perch+ muovendomi prima su una retta e poi su una parabola il limite non è unico.
Facendo secondo la definizione esistono e sono nulle. (Non esistone quando per esempio? Non mi è mai capitato)
Usando la definizione di derivata direzionale ottengo $ (t^3\ v_1^2\ v_2) / (t^5 v_1^4 + t^3\ v_2^2)$ con $t->0$ che semplificando viene: $ ( v_1^2\ v_2) / (t^2 v_1^4 + v_2^2) = ( v_1^2\ v_2) / v_2^2 = v_1^2 / v_2 $
tutte operazione lecite? ed ora cosa posso concludere?
Non è differenziabile
Ciao!
Ma sostituendo $t(v_1,v_2)$ al denominatore non dovresti avere:
$(t^3(v_1)^2(v_2))/(t^4(v_1)^4+t^2(v_2)^2)$
Quindi sotto puoi raccogliere al massimo un $t^2$ e allora ottieni:
$(t(v_1)^2(v_2))/(t^2(v_1)^4+(v_2)^2)$
e quindi in questo caso direi che le derivate direzionali esistono e valgono $0$.
Ciaoo!
PS: sto studiando anche io questo argomento.. sono sono sicuro che sia giusto al 100%
Ma sostituendo $t(v_1,v_2)$ al denominatore non dovresti avere:
$(t^3(v_1)^2(v_2))/(t^4(v_1)^4+t^2(v_2)^2)$
Quindi sotto puoi raccogliere al massimo un $t^2$ e allora ottieni:
$(t(v_1)^2(v_2))/(t^2(v_1)^4+(v_2)^2)$
e quindi in questo caso direi che le derivate direzionali esistono e valgono $0$.
Ciaoo!
PS: sto studiando anche io questo argomento.. sono sono sicuro che sia giusto al 100%
ti sei anche dimenticato $1/t$
Dipende possono valore come ho detto io oppure zero, in base a quanto vale $v_2$
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