Differenziabilità con parametro
Buongiorno,
sfogliando le vecchie prove d'esame del mio docente di analisi 2 ho trovato questo esercizio di applicazione della teoria, vecchio 10 anni, di una tipologia mai vista nel corso ed avrei bisogno di aiuto nello svolgimento.
Questa è la traccia:
determinare i valori del parametro $α∈(0, +∞)$ per i quali la funzione $f :\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ definita da $f(x,y)=|x|^(3α)|y|^α$ è differenziabile in $(x,y)=(0,0)$
Grazie a chi saprà aiutarmi
Marco
sfogliando le vecchie prove d'esame del mio docente di analisi 2 ho trovato questo esercizio di applicazione della teoria, vecchio 10 anni, di una tipologia mai vista nel corso ed avrei bisogno di aiuto nello svolgimento.
Questa è la traccia:
determinare i valori del parametro $α∈(0, +∞)$ per i quali la funzione $f :\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ definita da $f(x,y)=|x|^(3α)|y|^α$ è differenziabile in $(x,y)=(0,0)$
Grazie a chi saprà aiutarmi
Marco
Risposte
Ciao! Per il regolamento del forum, è richiesto un tuo tentativo di svolgimento. Visto che non hai mai fatto esercizi simili, ti ricordo la definizione di funzione differenziabile in un punto: dato un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^2$, una funzione $f:A \to \mathbb{R}$ si dice differenziabile nel punto $(x_0,y_0) \in A$ se:
$$\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot h -\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
Con il puntino $\cdot$ non intendo il prodotto scalare, ma le moltiplicazioni tra le derivate parziali valutate nel punto $(x_0,y_0)$ e i numeri $h$ e $k$.
$$\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot h -\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
Con il puntino $\cdot$ non intendo il prodotto scalare, ma le moltiplicazioni tra le derivate parziali valutate nel punto $(x_0,y_0)$ e i numeri $h$ e $k$.
Ho provato a seguire il procedimento e mi viene $α>2/3$. E' corretto? Chiedo perché non c'è il risultato
A me risulta diversamente, ti invito a scrivere i calcoli che hai fatto per vedere insieme se mi sono sbagliato io o se ci sono errori nel tuo procedimento.
Alla fine mi viene il limite per $ρ→0^+$ di $ρ^(4α-1)|cos(θ)|^(3α)|sin(θ)|^(α)$ che ho maggiorato con $ρ^(4α-1)$ che tende a zero sse $α>1/4$
Esatto! Ho visto ora che hai modificato il vecchio messaggio, se ti va rimetti il risultato che ti era venuto prima o altrimenti chi leggerà la conversazione in futuro penserà che stiamo delirando entrambi. 
Grazie per l'aiuto, non avendone mai fatti mi ero trovato un po' spaesato, tenendo conto che il professore ha focalizzato di più l'attenzione su altri argomenti, come integrali tripli, superfici, flusso, circuitazione ecc. rispetto a questo cui ha dedicato pochi minuti di lezione.
Grazie per aver modificato il messaggio precedente! Prego, anzi: non devi ringraziarmi, hai fatto praticamente tutto da solo.
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