Differenziabilità con parametro

[melli13]

Salve a tutti...non mi sento molto sicura con la differenziabilità di una funzione.
Posto qui un esercizio con la mia risoluzione. Se avete voglia di dargli uno sguardo mi farebbe molto piacere.

$f_alpha (x,y)={(xy^(-1)e^(-|y|^alpha)sqrt(x^2+y^2), if y!=0),(0, if y=0):}$

Devo discutere la differenziabilità nel punto $(0,0)$
Innanzitutto verifico che sia continua, perchè se non lo è sicuramente non è differenziabile.
$f_alpha (x,y)$ è continua $hArr lim_((x,y)->(0,0)) xy^(-1)e^(-|y|^alpha)sqrt(x^2+y^2)=0$

Trasformando in coordinate polari ottengo che:
$lim_(rho->0) (rho^2*cos(theta))/(rho*sen(theta)*e^(|rho*sen(theta)|^alpha)$=$lim_(rho->0) (rho*cos(theta))/(sen(theta)*e^(|rho*sen(theta)|^alpha))=0$ $AA alpha in RR$

Quindi è continua $AA alpha in RR$

Adesso mi calcolo le derivate parziali:
$f_x(0,0)=0$ e $f_y(0,0)=0$

E ora posso dire che la funzione è differenziabile se $lim_((h,k)->(0,0)) (f(h,k)-f(0,0))/sqrt(h^2+k^2)$=$lim_((h,k)->(0,0)) (h*sqrt(h^2+k^2))/(ke^(|k|^(alpha))sqrt(h^2+k^2))$=$lim_((h,k)->(0,0)) h/(ke^(|k|^(alpha))) = 0$

Trasformo in coordinate polari:
$lim_(rho->0) cos(theta)/(sen(theta)*e^(|rho*sen(theta)|^(alpha))$ = $0$ se $alpha>0$

Cosa ne pensate? E' giusto così? Grazie mille..

[melli13]

Nessuno può aiutarmi?

[dissonance]

Non sono sicuro che sia giusto. Quei \(\sin\) a denominatore mi lasciano perplesso. Che succede quando \(\theta=k\pi\)? Mi sa che la funzione non è continua, perché il seno a denominatore la rende arbitrariamente grande in un intorno dell'asse delle \(x\). Che dici...?