Differenziabilità con asintotico
Buona Domenica a tutti,
per la sagra "non si è mai sicuri di se" volevo chiedervi conferma su questo esercizio, ho la funzione
$$
f(x,y)=\begin{cases} \frac{xe^y-ye^x}{x-y} \, & \, se \, \, y\ne x \\ g(x) \, &\, se \, \, x=y\end{cases}
$$
dove $g:\R\to R$ ed i quesiti sono a) trovare se esiste $g$ tale che $f$ sia continua su tutto il piano. e b) discutere la differenziabilità nell'origine.
Ora io sono abbastanza convinto della mia dimostrazione per concludere che $g(x)=e^x(1-x)$ vorrei una conferma invece su come calcolo il limite per verificare la differenziabilità...
Dunque il gradiente è nullo e $g(0)=1$ quindi il limite che devo affrontare è
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\frac{xe^y-ye^x}{x-y} -1}{||(x,y)||}
$$
ora io applico l'asintotico $e^t\approx 1+t$ ed ottengo che
$$
\frac{\frac{xe^y-ye^x}{x-y} -1}{||(x,y)||}\approx\frac{\frac{x(1+y)-y(1+x)}{x-y} -1}{||(x,y)||}=\frac{\frac{x-y}{x-y} -1}{||(x,y)||}=0
$$
per cui concludo la differenziabilità, dove per inciso ho usato lo stesso asintotico anche per verificare che il limite della funzione originaria nell'origine fosse pari ad uno...
Ora io penso che sia corretto, perché alla fine ho trovato che la mia funzione è asintotica a zero... tuttavia il mio ragionamento potrebbe essere fallace... voi cosa ne pensate?
per la sagra "non si è mai sicuri di se" volevo chiedervi conferma su questo esercizio, ho la funzione
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f(x,y)=\begin{cases} \frac{xe^y-ye^x}{x-y} \, & \, se \, \, y\ne x \\ g(x) \, &\, se \, \, x=y\end{cases}
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dove $g:\R\to R$ ed i quesiti sono a) trovare se esiste $g$ tale che $f$ sia continua su tutto il piano. e b) discutere la differenziabilità nell'origine.
Ora io sono abbastanza convinto della mia dimostrazione per concludere che $g(x)=e^x(1-x)$ vorrei una conferma invece su come calcolo il limite per verificare la differenziabilità...
Dunque il gradiente è nullo e $g(0)=1$ quindi il limite che devo affrontare è
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\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\frac{xe^y-ye^x}{x-y} -1}{||(x,y)||}
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ora io applico l'asintotico $e^t\approx 1+t$ ed ottengo che
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\frac{\frac{xe^y-ye^x}{x-y} -1}{||(x,y)||}\approx\frac{\frac{x(1+y)-y(1+x)}{x-y} -1}{||(x,y)||}=\frac{\frac{x-y}{x-y} -1}{||(x,y)||}=0
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per cui concludo la differenziabilità, dove per inciso ho usato lo stesso asintotico anche per verificare che il limite della funzione originaria nell'origine fosse pari ad uno...
Ora io penso che sia corretto, perché alla fine ho trovato che la mia funzione è asintotica a zero... tuttavia il mio ragionamento potrebbe essere fallace... voi cosa ne pensate?
Risposte
"Bossmer":
per la sagra "non si è mai sicuri di se"
Bella sagra! Ne hai sentito parlare alla saga dello gnocco fritto?
Eddai è un refuso XD
Piuttosto che prendermi in giro 
che ne pensi dell'esercizio ?
che ne pensi dell'esercizio ?
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