Differenziabilità

[starbike]

Salve a tutti...
la differenziabilità di una funzione nel punto P si determina anche calcolando le derivate parziali e verificando che siano continue giusto?
Ecco supponendo che calcolo la derivata rispetto a x di f(x,y) per controllare che è continua devo verificare che il limite della derivata per (x,y) tendente a P sia uguale a f(P) della derivata parziale????
Non mi so spiegare quindi faccio un esempio banalissimo

$f(x,y) = x^2+y^2$ devo verificare se è differenziabile in (3,2)

e fx= 2x e per verificare la continuità della derivata parziale rispetto a x devo solo fare il $lim(x,y)->(3,2) 2x = f(3,2)$ giusto???
E solo per essere più sicura...classico panico pre-esame
Grazie

[Zero87]

"starbike":Salve a tutti...
la differenziabilità di una funzione nel punto P si determina anche calcolando le derivate parziali e verificando che siano continue giusto?

Se non erro il mio Marcellini Sbordone (elementi di analisi matematica II) dice la stessa cosa anche se, corso che vai, definizione di differenziabilità che trovi e mai due professori che siano d'accordo...
Le stesse wikipedia italiana ($f$ è differenziabile in un punto quando è approssimabile da un'applicazione lineare) e inglese ($f$ è differenziabile in un punto se esistono le derivate parziali nel punto (?!?)) dicono due cose diverse...

Passando alla tua domanda, per verificare la continuità, a meno che l'esercizio stesso non te lo chieda, usi delle scappatoie. Così come nelle funzioni di una variabile reale, anche in quelle di due valgono risultati del tipo "la composizione di funzioni continue è una funzione continua" (non mi dilungo ad analizzare casi vari...).

Cioè, per verificare la continuità della derivata parziale, a meno che non ti si richieda di farlo esplicitamente, non stare ad ammattirti a fare il limite. $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x$ è continua perché prodotto di due funzioni continue.
Poi è ovvio che se devi attenerti alla definizione (o se te lo si richiede) devi fare il limite...

In quel caso
$lim_((x,y) \to (3,2)) 2x = f_x (3,2)$ [non $f(3,2)$ ] da risolvere, per esempio, con l'usuale metodo di porre $y=y_0+m(x-x_0)$ per le direzioni. In fondo anche se compare solo la $x$ ricordiamoci che siamo in due variabili...

In bocca al lupo per l'esame e non lasciarti prendere dal panico. [size=75]Non ne vale la pena di rovinarsi la vita per l'università.[/size]

[starbike]

Purtroppo in molti esercizi della mia professoressa richiede spesso la continuità della derivata parziale. Quindi se non ho capito male nel caso in cui la derivata parziale è semplice e vedo a occhio che è continua bene ma se è complessa con funzioni fratte logaritmi radici ecc... faccio il limite
$lim (x,y) ->(xo,yo) fx = fx(xo,yo)$ giusto?

[Zero87]

"starbike":$lim (x,y) ->(xo,yo) fx = fx(xo,yo)$ giusto?

So che non c'entra, però te lo dico uguale. Prova a scrivere
"lim _((x,y) ->(xo,yo)) fx = fx(xo,yo)" invece di "lim (x,y) ->(xo,yo) fx = fx(xo,yo)"
tra i due simboli di dollaro e vedrai che la scrittura diventerà mille volte più bella (anche se il firefox me la dà minuscola) .

Tornando al tuo quesito, se devi dimostrare la continuità delle derivate parziali, devi proprio fare quello che hai detto, cioè il limite
$lim _ ((x,y) ->(xo,yo)) fx = fx(xo,yo)$

Ah, dimenticavo, per le formule "f_x" porta l'indice "x" al pedice (vale anche per lo zero su $x_0$, $y_0$)

$lim _ ((x,y) ->(x_0,y_0)) f_x = f_x(x_0,y_0)$

E ricordati che è un limite di una funzione a due variabili (anche se, in questo caso, hai $f_x(x,y)=2x$) e devi calcolarlo in tutte le infinite direzioni.

PS. Se, per funzioni "semplici" il limite non lo fai e dici che è continua, ricordati di spiegare il perché! (cioè, ad esempio, prodotto di funzioni continue) Se il tuo/la tua prof ama i limiti... falli e non sbagli mai anche se poi possono capitare pagine di conti!

In bocca al lupo per l'esame

[starbike]

Si lei è di quelle che ama i limiti XD Grazie mille e crepi