Differenziabilità
salve a tutti, oggi ho iniziato a studiare la differenziabilità, e non mi è chiaro qualcosa.
per esempio in questo esercizio :
Dire in quale insieme del piano la punzione è continua, derivabile, differenziabile.
$ f(x,y) { ( (yx^3)/(x^(2)+y^(2)) ),( 0 ):} $ la prima per (x,y) diverso da (0,0) la seconda per (x,y) uguale a (0,0).
(premetto che la prof ha detto che possiamo utilizzare anche il teorema il quale dice che se le deriv. parziali esistono e sono cont. nel dominio allora f è diff.)
sarei molto grato a chi mi volesse aiutare a svolgere l'esercizio, sia chiaro , nn voglio che lo facciate voi! ma vorrei capire i passi che bisogna fare per risolverlo!
grazie
per esempio in questo esercizio :
Dire in quale insieme del piano la punzione è continua, derivabile, differenziabile.
$ f(x,y) { ( (yx^3)/(x^(2)+y^(2)) ),( 0 ):} $ la prima per (x,y) diverso da (0,0) la seconda per (x,y) uguale a (0,0).
(premetto che la prof ha detto che possiamo utilizzare anche il teorema il quale dice che se le deriv. parziali esistono e sono cont. nel dominio allora f è diff.)
sarei molto grato a chi mi volesse aiutare a svolgere l'esercizio, sia chiaro , nn voglio che lo facciate voi! ma vorrei capire i passi che bisogna fare per risolverlo!
grazie
Risposte
Beh allora... per studiare la continuità non devi far altro che vedere
qual'è l'insieme di definizione della funzione... l'idea è la stessa
delle famose Condizioni d'Esistenza che facevi per le funzioni a 1 variabile...
Quindi qui abbiamo: \(\displaystyle x^2+y^2 \neq 0 \) per la prima, che quindi è banalmente
risolta per \(\displaystyle (x,y)\neq(0,0) \), e dunque non ci sono problemi perchè è già definita
in un dominio che esclude quel punto... il problema è ora vedere se effettivamente in \(\displaystyle (x,y)=(0,0) \)
è continua, facendone quindi il limite:
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{yx^3}{x^2+y^2}=\frac{0}{0} = F.I. \)
si possono usare ad esempio le coordinate polari per fare il limite:
\(\displaystyle \lim_{\rho \to 0} f(\rho,\theta) = \lim_{\rho \to 0} \frac{\rho sin(\theta)(\rho cos(\theta))^3}{(\rho cos(\theta))^2+(\rho sin(\theta))^2} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^4 cos^3(\theta) sin(\theta)}{\rho^2(cos^2(\theta)+sin^2(\theta))}=\lim_{\rho \to 0} \rho^2 cos^3(\theta)sin(\theta) = 0 \)
e poichè il limite non dipende da \(\displaystyle \theta \) possiamo dire che è effettivamente \(\displaystyle 0 \)
e quindi coincide col valore che la funzione ha nel punto \(\displaystyle (x,y)=(0,0) \) e quindi è continua!
Per quanto riguarda la differenziabilità, devi guardare il gradiente: \(\displaystyle \bigtriangledown f(x,y) = \left ( \frac{x^4y+3x^2y^3}{(x^2+y^2)^2},\frac{x^5-x^3y^2}{(x^2+y^2)^2} \right ) \)
Poichè anche questo è definito su tutto \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) tranne in \(\displaystyle (x,y)=(0,0) \), passiamo subito a vedere come si comporta in questo punto, sempre col limite. Anche qui tende al valore giusto, e dunque è differenziabile ovunque!
qual'è l'insieme di definizione della funzione... l'idea è la stessa
delle famose Condizioni d'Esistenza che facevi per le funzioni a 1 variabile...
Quindi qui abbiamo: \(\displaystyle x^2+y^2 \neq 0 \) per la prima, che quindi è banalmente
risolta per \(\displaystyle (x,y)\neq(0,0) \), e dunque non ci sono problemi perchè è già definita
in un dominio che esclude quel punto... il problema è ora vedere se effettivamente in \(\displaystyle (x,y)=(0,0) \)
è continua, facendone quindi il limite:
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{yx^3}{x^2+y^2}=\frac{0}{0} = F.I. \)
si possono usare ad esempio le coordinate polari per fare il limite:
\(\displaystyle \lim_{\rho \to 0} f(\rho,\theta) = \lim_{\rho \to 0} \frac{\rho sin(\theta)(\rho cos(\theta))^3}{(\rho cos(\theta))^2+(\rho sin(\theta))^2} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^4 cos^3(\theta) sin(\theta)}{\rho^2(cos^2(\theta)+sin^2(\theta))}=\lim_{\rho \to 0} \rho^2 cos^3(\theta)sin(\theta) = 0 \)
e poichè il limite non dipende da \(\displaystyle \theta \) possiamo dire che è effettivamente \(\displaystyle 0 \)
e quindi coincide col valore che la funzione ha nel punto \(\displaystyle (x,y)=(0,0) \) e quindi è continua!
Per quanto riguarda la differenziabilità, devi guardare il gradiente: \(\displaystyle \bigtriangledown f(x,y) = \left ( \frac{x^4y+3x^2y^3}{(x^2+y^2)^2},\frac{x^5-x^3y^2}{(x^2+y^2)^2} \right ) \)
Poichè anche questo è definito su tutto \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) tranne in \(\displaystyle (x,y)=(0,0) \), passiamo subito a vedere come si comporta in questo punto, sempre col limite. Anche qui tende al valore giusto, e dunque è differenziabile ovunque!
@Zaphod Beeblebrox
per vedere se è differenziabile bisogna trovare le derivate parziali prime e vedere cosa? un'altra domanda come fai a vedere nel limite che $\theta$ non è importante? (quando hai usato le cordinate polari...)
Grazie
per vedere se è differenziabile bisogna trovare le derivate parziali prime e vedere cosa? un'altra domanda come fai a vedere nel limite che $\theta$ non è importante? (quando hai usato le cordinate polari...)
Grazie
"davidedesantis":
@Zaphod Beeblebrox
per vedere se è differenziabile bisogna trovare le derivate parziali prime e vedere cosa?
Lui in realtà sta usando un teorema: se si verifica che le derivate prime sono continue allora la funzione è differenziabile. Sennò si potrebbe verificare direttamente la definizione di differenziabilità, metodo che io consiglio perché, a differenza del teorema citato, ci dice anche se la funzione NON é differenziabile. Invece, se il teorema di sopra fallisce, potrebbe comunque capitare che la funzione è differenziabile.
"davidedesantis":
@Zaphod Beeblebrox
per vedere se è differenziabile bisogna trovare le derivate parziali prime e vedere cosa? un'altra domanda come fai a vedere nel limite che $\theta$ non è importante? (quando hai usato le cordinate polari...)
Grazie
questo lo vedi perchè il limite è zero sempre.... se il limite ti venisse ad esempio pari a \(\displaystyle cos(\theta) \),
avrei dipendenza da \(\displaystyle \theta \) e non sarebbe più un limite univoco!!
grazie a tutti! 
scusate ragazzi ma nn ho capito cosa si fa dopo le derivate parziali!
ma solo se i due limiti delle derivate parziali sono entrambi zero allora è differenziabile? oppure basta che siano uguali?
No, no.... non vai a guardare che i limiti delle derivate parziali siano uguali....
devi andare a vedere se le derivate parziali sono continue ovunque....
cioè proprio le prendi una alla volta e guardi dov'è che sono continue...
Però, come ha detto "dissonance", è una condizione sufficiente.... cioè se sono continue, siamo a posto,
altrimenti bisogna verificare cosa fanno nei punti di discontinuità...
devi andare a vedere se le derivate parziali sono continue ovunque....
cioè proprio le prendi una alla volta e guardi dov'è che sono continue...
Però, come ha detto "dissonance", è una condizione sufficiente.... cioè se sono continue, siamo a posto,
altrimenti bisogna verificare cosa fanno nei punti di discontinuità...
scusa ma come faccio a sapere se le mie derivate parziali sono continue ovunque?
Ti studi almeno un poco di teoria, ecco come fai. Non puoi fare questi esercizi senza sapere nemmeno come si fa a stabilire se una funzione è continua. In Analisi 1 come facevi? Usavi i limiti: una funzione \(f(x)\) è continua in un punto \(x_0\) del suo dominio se e solo se \(f(x_0)=\lim_{x \to x_0}f(x)\). Qui devi fare qualcosa di analogo ma con due variabili; sul tuo libro di teoria è sicuramente spiegato nel dettaglio molto meglio di come possiamo fare noi qui.
Si tratta pur sempre di funzioni....
guardi il loro dominio....
Se ad esempio ho \(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f(x,y) = \frac{log(x+1)}{x-y} \)
devo porre \(\displaystyle x+1>0 \) e \(\displaystyle x-y\neq 0 \) e quindi è continua in tutto il semipiano dove
la \(\displaystyle x>-1 \) (cioè nella parte destra) togliendo tutta la retta \(\displaystyle y = x \)
guardi il loro dominio....
Se ad esempio ho \(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f(x,y) = \frac{log(x+1)}{x-y} \)
devo porre \(\displaystyle x+1>0 \) e \(\displaystyle x-y\neq 0 \) e quindi è continua in tutto il semipiano dove
la \(\displaystyle x>-1 \) (cioè nella parte destra) togliendo tutta la retta \(\displaystyle y = x \)
Vabbè, che razza di spiegazione pure tu. Così si fa per stabilire la regione in cui una funzione è "evidentemente" continua, ma poi c'è sempre da calcolare qualche limite, in queste faccende di differenziabilità. Se non avete chiaro il concetto di continuità, meglio allora verificare la differenziabilità di una funzione applicando direttamente la definizione, ovvero verificando che il seguente limite
\[\lim_{ (h, k) \to (0, 0)} \frac{ f(x+h, y+k)-f(x, y)- \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)h - \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)k}{\sqrt{h^2+k^2}}\]
esiste e vale \(0\).
Ragazzi ma la teoria la studiate? Io ho l'impressione che la saltiate a pié pari. Ma così fare gli esercizi diventa due volte più difficile, e poi non resta niente.
\[\lim_{ (h, k) \to (0, 0)} \frac{ f(x+h, y+k)-f(x, y)- \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)h - \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)k}{\sqrt{h^2+k^2}}\]
esiste e vale \(0\).
Ragazzi ma la teoria la studiate? Io ho l'impressione che la saltiate a pié pari. Ma così fare gli esercizi diventa due volte più difficile, e poi non resta niente.
Anch'io ho la stessa netta sensazione che molti la teoria la saltino a piè pari; proprongo a questi di non dare nessun aiuto finchè non si sono documentati.
L'unico problema è che nessuno nasce grande....
La matematica puoi studiarla in teoria ma se non la riesci a mettere in pratica
puoi fare i salti mortali, che non ne esci fuori...
La matematica puoi studiarla in teoria ma se non la riesci a mettere in pratica
puoi fare i salti mortali, che non ne esci fuori...
Certamente, è per questo che si fanno gli esercizi. Studiare solo teoria senza fare esercizi non va per niente bene. Ma è meno grave di fare esercizi senza conoscere neanche un minimo di teoria, una pratica completamente priva di senso anche se purtroppo molto diffusa.
Sono d'accordo con la proposta di Camillo.
Sono d'accordo con la proposta di Camillo.
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