Differenziabilità
Sia $ g(t) : R->R $ , derivabile in t=0 con g'(0)=0. Provare che la funzione: $ G(x,y)=g(sqrt(x^2+y^2) ) $ è differenziabile in (0,0).
Non so come impostarlo ...
Non so come impostarlo ...
Risposte
Comincia col calcolare le derivate parziali in \((0, 0)\). Dopodiché vedi se si verifica la definizione di differenziabilità.
quindi dovrei considerare G(0,0)=g(0) allora G'(0,0)=g'(0)=0...mmm scusa l'ignoranza ma cm posso trovare le derivate parziali??
Ma tu e Pako.uni siete la stessa persona?
Comunque, le derivate parziali si trovano con la solita regola per la derivata di funzioni composte.
Comunque, le derivate parziali si trovano con la solita regola per la derivata di funzioni composte.
no xò mi sn accorta ank'io k abbiamo gli stessi esercizi....quindi ho pensato k probabilmente viene alla mia stessa facoltà o la mia prof insegna anke da lui....quindi controllo i suoi esercizi e vedo se li so fa...
"dissonance":
Ma tu e Pako.uni siete la stessa persona?
Comunque, le derivate parziali si trovano con la solita regola per la derivata di funzioni composte.
mmmmm ma nn c'ho la funzione....=( mmmm nn ho capito...
qualcuno mi può aiutareeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee?????????????????????'
Conosci la definizione di derivata parziale? In pratica
[tex]$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=?$[/tex]
[tex]$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=?$[/tex]
Sono già due volte che provo a rispondere ma per problemi tecnici assortiti Firefox si blocca. Allora faccio solo un appunto al volo: @badgirl: per favore evita le eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee e i ???????????????????????, su questo forum sono mal visti insieme alle abbreviazioni SMS (tvb, cmq, xò, tvumdb). Grazie.
"dissonance":
Sono già due volte che provo a rispondere ma per problemi tecnici assortiti Firefox si blocca. Allora faccio solo un appunto al volo: @badgirl: per favore evita le eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee e i ???????????????????????, su questo forum sono mal visti insieme alle abbreviazioni SMS (tvb, cmq, xò, tvumdb). Grazie.
scusa....
"ciampax":
Conosci la definizione di derivata parziale? In pratica
[tex]$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=?$[/tex]
Si la conosco ma poichè la traccia mi dice semplicemente che $G(x,y)=g(sqrt(x^2+y^2))$...a chi devo applicare la definizione a G o a g??
A $G$. Calcola le derivate parziali di $G$ in $(0,0)$ e poi studia il limite
\[\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{G(x, y)-G(0,0)-xG'_x(0,0)-yG'_y(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}.\]
In sostanza, controlla se è verificata la definizione di differenziabilità. Niente di misterioso.
\[\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{G(x, y)-G(0,0)-xG'_x(0,0)-yG'_y(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}.\]
In sostanza, controlla se è verificata la definizione di differenziabilità. Niente di misterioso.
ok....ma G'(0,0) =0???
ragazzi ma esce la soluzione ?
Ragazzi vi dovete sforzare un po'. Una cosa come "ma esce la soluzione", qui sopra, non si può proprio sentire.
@Badgirl: Che significa $G'(0,0)$? Stai parlando di funzioni di due variabili. Puoi dire semmai che $\frac{\partial G}{\partial x}(0,0), \frac{\partial G}{\partial y}(0,0)=0$ (nella formula precedente ho abbreviato \(\frac{\partial G}{\partial x}\) con \(G'_x\)). Questo è vero ma lo devi dimostrare.
@Badgirl: Che significa $G'(0,0)$? Stai parlando di funzioni di due variabili. Puoi dire semmai che $\frac{\partial G}{\partial x}(0,0), \frac{\partial G}{\partial y}(0,0)=0$ (nella formula precedente ho abbreviato \(\frac{\partial G}{\partial x}\) con \(G'_x\)). Questo è vero ma lo devi dimostrare.
allora dissonance ho ho dimostrato che le derivate parziali della G(x,y) vanno a 0 , vedi se va bene come ragionamento:
$ (dG)/dx= g'(sqrt(x^2+y^2))*(2x)/(2sqrt(x^2+y^2)) $ che in (0,0) va a 0 ovviamente, analogo discorso vale per la derivata fatta rispetto ad y.
$ (dG)/dx= g'(sqrt(x^2+y^2))*(2x)/(2sqrt(x^2+y^2)) $ che in (0,0) va a 0 ovviamente, analogo discorso vale per la derivata fatta rispetto ad y.
poi ho impostato la condizione di differenziabilita e passando ai limiti mi viene una forma indeterminata del tipo (g(0)-g(0))/0= 0/0.... e qui mi so bloccato.
"Pako.uni":
allora dissonance ho ho dimostrato che le derivate parziali della G(x,y) vanno a 0 , vedi se va bene come ragionamento:
$ (dG)/dx= g'(sqrt(x^2+y^2))*(2x)/(2sqrt(x^2+y^2)) $ che in (0,0) va a 0 ovviamente, analogo discorso vale per la derivata fatta rispetto ad y.
Non è detto molto bene però il concetto è quello, si. Non è detto molto bene per due motivi:
[list=1][*:1uxx83zw]Non è così ovvio che
\[\lim_{(x, y)\to (0,0)} g'(\sqrt{x^2+y^2})*\frac{2x}{2\sqrt(x^2+y^2)}=0.\]
Infatti c'è una forma indeterminata nel secondo fattore. Però la frazione
\[\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
è limitata intorno a \((0,0)\), cosa che dimostri subito osservando che \(\sqrt{x^2+y^2} \le \lvert x \rvert\). [/*:m:1uxx83zw]
[*:1uxx83zw]Questo discorso dimostra che la funzione \(\frac{\partial G}{\partial x}\) è prolungabile per continuità in \((0,0)\); siccome sappiamo che \(G\) è continua in \((0,0)\), dal teorema di Darboux ricaviamo che \( G\) è derivabile in \((0,0)\) rispetto ad \(x\) e che \(\frac{dG}{dx}(0,0)=0\). Questo è il ragionamento corretto da fare, ora chiaramente non starai ogni volta a riscriverlo ma almeno una volta conviene fare le cose proprio per bene.[/*:m:1uxx83zw][/list:o:1uxx83zw]
"Pako.uni":Prova a passare in coordinate polari e poi ad applicare la regola di l'Hospital.
poi ho impostato la condizione di differenziabilita e passando ai limiti mi viene una forma indeterminata del tipo (g(0)-g(0))/0= 0/0.... e qui mi so bloccato.
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