Differenziabilità
Ciao a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sul concetto di differenziabilità per funzioni di due variabili.
Esiste un teorema per il quale se la funzione f(x,y) è dotata di derivate parziali continue in un punto allora è differenziabile in quel punto e quindi è dotata di piano tangente.
Cio' che non mi è chiaro è il fatto che la continuità delle derivate parziali mi dà informazioni relative a due direzioni in cui derivo e non all'intorno del punto e quindi come faccio a sapere cosa accade avvicinandomi al punto da altre direzioni?.
grazie
Esiste un teorema per il quale se la funzione f(x,y) è dotata di derivate parziali continue in un punto allora è differenziabile in quel punto e quindi è dotata di piano tangente.
Cio' che non mi è chiaro è il fatto che la continuità delle derivate parziali mi dà informazioni relative a due direzioni in cui derivo e non all'intorno del punto e quindi come faccio a sapere cosa accade avvicinandomi al punto da altre direzioni?.
grazie
Risposte
Come per la retta tangente nelle funzioni di una variabile reale, anche nelle funzioni di due variabili si può approssimare la funzione nel punto con il piano tangente potendo esprimere la funzione come f(x,y) = f(x0,y0) + fx(x0,y0) * (x-x0) + fy(x0,y0) * (y-y0) + o(sqrt[(x-x0)^2 + (y-y0)^2])
mentre l'equazione del piano è z = f(x0,y0) + fx(x0,y0) * (x-x0) + fy(x0,y0) * (y-y0) e che quindi differiscono per un o piccolo.
mentre l'equazione del piano è z = f(x0,y0) + fx(x0,y0) * (x-x0) + fy(x0,y0) * (y-y0) e che quindi differiscono per un o piccolo.
Grazie per la risposta.
Penso di avere fatto confusione sul concetto generale di derivate parziali.
Da quello che ho capito, il teorema che ho citato del differenziale totale vale qualunque sia il sistema ortonormale di riferimento (nel caso di due variabili) e quindi io posso dimostrare il teorema anche considerando le due derivate parziali continue passanti per il punto con direzioni tra loro ortogonali ma ruotate di un certo angolo alfa rispetto agli assi x ed y e non necessariamente le direzioni parallele agli assi x ed y.
In generale, in due o più variabili, il fatto di considerare le derivate parziali con direzioni parallele agli assi coordinati immagino sia per semplificare le cose.
Grazie ancora
Penso di avere fatto confusione sul concetto generale di derivate parziali.
Da quello che ho capito, il teorema che ho citato del differenziale totale vale qualunque sia il sistema ortonormale di riferimento (nel caso di due variabili) e quindi io posso dimostrare il teorema anche considerando le due derivate parziali continue passanti per il punto con direzioni tra loro ortogonali ma ruotate di un certo angolo alfa rispetto agli assi x ed y e non necessariamente le direzioni parallele agli assi x ed y.
In generale, in due o più variabili, il fatto di considerare le derivate parziali con direzioni parallele agli assi coordinati immagino sia per semplificare le cose.
Grazie ancora
@cristian: Attenzione perché per fare il discorso che dici occorre sapere a priori che la funzione $f$ è differenziabile in $(x_0, y_0)$. Inoltre ti invito ad usare le formule (clic).
@meck: Non ne avevamo già parlato? Si, comunque il senso è quello: se sai che esistono e sono continue in tutto un intorno le derivate lungo due direzioni ortonormali, riesci da questo a desumere informazioni sulla differenziabilità della funzione.
@meck: Non ne avevamo già parlato? Si, comunque il senso è quello: se sai che esistono e sono continue in tutto un intorno le derivate lungo due direzioni ortonormali, riesci da questo a desumere informazioni sulla differenziabilità della funzione.
Grazie 1000 per la risposta
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