DIfferenziabilità
Verificare se la funzione:
[tex]xlog(x^2+y^2+1)[/tex] è differenziabile nel punto [tex](0,0)[/tex]
La funzione in quel punto dovrebbe valere 0. Quindi dovrebbe essere dotata di derivate parziali prime e seconde continue.
Ho povato a studiarla tramite definizione, ma non sono sicuro, calcolando il limite e considerando il differenziale e l'incremento dovrei avere:
[tex]\lim_{(h,k) \to \(0,0) }\frac{\Delta f-df}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Il differenziale è 0, ma la prima parte del numeratore come diventa?
[tex]\lim_{(h,k) \to \(0,0) }\frac{hlog(h^2+k^2+1)}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex] ?
Se è giusto ho considerato la restrizione in cui h=k con k>0 e ho scritto il limite per
[tex]\frac{klog(2k^2+1)}{\sqrt{2k^2}}[/tex] e poi
[tex]\frac{klog(2k^2+1)}{k\sqrt{2}}[/tex]
Dovrebbe fare 0, solo che mi sto ricordando che così non posso dire nulla, devo trovare come fare un confronto con il limite di partenza?
[tex]xlog(x^2+y^2+1)[/tex] è differenziabile nel punto [tex](0,0)[/tex]
La funzione in quel punto dovrebbe valere 0. Quindi dovrebbe essere dotata di derivate parziali prime e seconde continue.
Ho povato a studiarla tramite definizione, ma non sono sicuro, calcolando il limite e considerando il differenziale e l'incremento dovrei avere:
[tex]\lim_{(h,k) \to \(0,0) }\frac{\Delta f-df}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Il differenziale è 0, ma la prima parte del numeratore come diventa?
[tex]\lim_{(h,k) \to \(0,0) }\frac{hlog(h^2+k^2+1)}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex] ?
Se è giusto ho considerato la restrizione in cui h=k con k>0 e ho scritto il limite per
[tex]\frac{klog(2k^2+1)}{\sqrt{2k^2}}[/tex] e poi
[tex]\frac{klog(2k^2+1)}{k\sqrt{2}}[/tex]
Dovrebbe fare 0, solo che mi sto ricordando che così non posso dire nulla, devo trovare come fare un confronto con il limite di partenza?
Risposte
Nessuno?
[mod="dissonance"]Mi pare di avere capito che domani hai un esame, ma questo purtroppo non ti autorizza a fare "up" prima di 24 ore dalla data dell'ultimo post. Se si dovesse ripetere dovremo chiudere il topic.[/mod]
"Darèios89":
Se è giusto ho considerato la restrizione in cui h=k con k>0
In questo modo ci hai fatto vedere che lungo quella particolare restrizione il limite esiste e vale 0.
Però adesso devi verificare che esiste e vale 0 anche per tutte le altre infinite restrizioni, perché potrebbe sempre esserci una restrizione in cui quel limite non esiste.
Quindi, a meno che tu abbia un'eternità davanti (che poi non ti basterebbe neanche), devi seguire altre strade.
Le definizioni sono importantissime, ma a livello pratico non aiutano perché noi, poveri umani, non possiamo fare infinite verifiche.
Per farti capire il concetto, te lo esprimo con un esempio fin troppo banale:
Supponiamo che un teorema (che non esiste!!) dica questo:
Se tutti i granelli di sabbia sono marrone chiaro e pesano 0.00001 g , allora la sabbia è secca.
Quindi se volessimo applicare la definizione, per provare che la sabbia è secca, dovremmo prendere ad uno ad uno i granelli di sabbia e verificare che sono di colore marrone chiaro e pesano 0.00001 g.
Anche se i granelli di sabbia non sono infiniti, sfido chiunque ad "applicare la definizione" per verificare questo teorema, è una pazzia!!
Per questo esistono i criteri, che semplificano notevolmente le cose e ci permettono di giungere alla stessa conclusione del teorema, però in maniera "umana", senza dover fare infinite verifiche.
________
Ritornando a noi; per verificare la differenziabilità non ti conviene usare la definizione (per quanto detto prima), invece puoi dire che:
una condizione necessaria e sufficiente per la differenziabilità di una funzione di due variabili, in un punto [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] in cui la funzione è derivabile; è la seguente:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)- f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)-f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y_0) }{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} =0$[/tex]
Per maggiori chiarimenti teorici sulla differenziabilità:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#415045
Mh.....il teorema del differenziale totale non ci aiuta?
Il dominio della funzione sarebbe [tex]x^2+y^2>-1[/tex] Ora io non mi raccapezzo molto con queste funzioni, ma il dominio....mi sembra chiuso, quindi forse quel teorema non ci aiuta...
Il dominio della funzione sarebbe [tex]x^2+y^2>-1[/tex] Ora io non mi raccapezzo molto con queste funzioni, ma il dominio....mi sembra chiuso, quindi forse quel teorema non ci aiuta...
"Darèios89":
Mh.....il teorema del differenziale totale non ci aiuta?
Il dominio della funzione sarebbe [tex]x^2+y^2>-1[/tex] Ora io non mi raccapezzo molto con queste funzioni, ma il dominio....mi sembra chiuso, quindi forse quel teorema non ci aiuta...
Perchè dici che l'insieme è aperto? Sicuro?
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