Differenziabilità
Salve ragazzi,
volevo chiedervi se potreste spiegarmi in maniera chiara come verificare che una funzione a 2 variabili sia differenziabile
in quanto chiedendo informazioni ai miei amici mi sono semplicemente confuso più di prima poichè mi hanno dato tutti metodi diversi: 1)è sufficiente verificare che sia continua 2)devo calcolare le derivate parziali e verificare che queste siano singolarmente continue 3)determinare la matrice jacobiana e controllare che il suo determinante sia =0.
Io ho provato con tutti e tre ma ho avuto risultati differenti,chiedo quindi aiuto a voi!
Ad esempio come posso verificare che: X^2+2XY-Y^2 sia differenziabile e calcolarne i punti di max e min?
Quello che faccio io è verificare che il limite per(X,Y)che tendono a (0,0) sia =l ma non so se è corretto
volevo chiedervi se potreste spiegarmi in maniera chiara come verificare che una funzione a 2 variabili sia differenziabile
in quanto chiedendo informazioni ai miei amici mi sono semplicemente confuso più di prima poichè mi hanno dato tutti metodi diversi: 1)è sufficiente verificare che sia continua 2)devo calcolare le derivate parziali e verificare che queste siano singolarmente continue 3)determinare la matrice jacobiana e controllare che il suo determinante sia =0.
Io ho provato con tutti e tre ma ho avuto risultati differenti,chiedo quindi aiuto a voi!
Ad esempio come posso verificare che: X^2+2XY-Y^2 sia differenziabile e calcolarne i punti di max e min?
Quello che faccio io è verificare che il limite per(X,Y)che tendono a (0,0) sia =l ma non so se è corretto
Risposte
Certo che quello che ti ha suggerito la 1 ha capito tutto dell'analisi... 
Comunque, un libro o una dispensa di analisi fa schifo?
Comunque, un libro o una dispensa di analisi fa schifo?
Salve amel,
Io non posso giudicare comque se ti può essere di aiuto il mio libro è il Bertsch,Dal Passo
Io non posso giudicare comque se ti può essere di aiuto il mio libro è il Bertsch,Dal Passo
Chiaramente scherzavo, spero si fosse capito.
Il fatto è che quello che chiedi è una definizione super-sviscerata in tutti i libri di analisi, compreso il Bertsch-Dal Passo spero
(non l'ho mai sfogliato). Eddai, almeno andare a leggere un esempio di funzione continua non differenziabile, il fatto che le funzioni di classe $C^1$ sono differenziabili, almeno quelle cose lì... Poi magari chiedi cosa non hai capito.
Il fatto è che quello che chiedi è una definizione super-sviscerata in tutti i libri di analisi, compreso il Bertsch-Dal Passo spero
(non l'ho mai sfogliato). Eddai, almeno andare a leggere un esempio di funzione continua non differenziabile, il fatto che le funzioni di classe $C^1$ sono differenziabili, almeno quelle cose lì... Poi magari chiedi cosa non hai capito.
amel è naturale che io abbia già controllato il libro, il problema è che in questo la drfinizione e gli esempi riguardano solo le funzioni ad una incognita mentre per quelle a più incognite (che sono quelle di mio interesse) ho solo la seguente informazione:la f si dice differenziabile in x€(a,b) se:
f(x+h)=f(x)+ah+o(h) stop! Ed è a causa di questa definizione che sono andato in tilt anche perchè quelle che trovo su internet sono quasi tutte differenti tra loro.
f(x+h)=f(x)+ah+o(h) stop! Ed è a causa di questa definizione che sono andato in tilt anche perchè quelle che trovo su internet sono quasi tutte differenti tra loro.
Ciao,
se una funzione di due variabili ammette derivate parziali continue, allora sarà sicuramente differenziabile...ma questa è una condizione sufficiente a garantire la differenziabilità, ma non necessaria...infatti esistono funzioni che non ammettono derivate parziali continue, ma nonostante ciò sono comunque differenziabili.
Una condizione necessaria e sufficiente, al fine di dimostrare che una funzione di due variabili sia differenziabile è:
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
ossia devi verificare che l'espressione scritta sopra dia come risultato $0$ al tendere di $(x,y)->0$....se questo viene verificato significa che esisterà il piano tangente alla superfice nel punto, tale da contenere tutte le derivate direzionali, allora la derivata direzionale la si potrà esprimere come $f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)sen\alpha$
Spero tu abbia capito!
se una funzione di due variabili ammette derivate parziali continue, allora sarà sicuramente differenziabile...ma questa è una condizione sufficiente a garantire la differenziabilità, ma non necessaria...infatti esistono funzioni che non ammettono derivate parziali continue, ma nonostante ciò sono comunque differenziabili.
Una condizione necessaria e sufficiente, al fine di dimostrare che una funzione di due variabili sia differenziabile è:
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
ossia devi verificare che l'espressione scritta sopra dia come risultato $0$ al tendere di $(x,y)->0$....se questo viene verificato significa che esisterà il piano tangente alla superfice nel punto, tale da contenere tutte le derivate direzionali, allora la derivata direzionale la si potrà esprimere come $f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)sen\alpha$
Spero tu abbia capito!
Per limitare l'aumento di confusione mi permetto di correggere Alexp.
Il teorema del differenziale totale, per quanto mi risulta dice che se esistono le derivate parziali nell'intorno del punto e sono continue nel punto,
allora la funzione e' differenziabile nel punto.
Quello che scrive Alexp e' comunque vero e segue dalla definizione di differenziabilita' /differenziale e dal riconoscere che, se il differenziale esiste esso si scrive in termini delle derivate parziali.
Per tornare alla domanda iniziale forse va esplicitata la definizione in termine di o piccoli che e' stata data a satoshi.
Dire che esiste una applicazione lineare $a$ tale che $f(x+h)=f(x)+ah+o(h)$ equivale a
$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)-ah}{||h||}=0$ o anche a $\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)-a(y-x)}{||y-x||}=0$
Come dicevo prima e' semplice vedere che l'esistenza del differenziale implica l'esistenza delle derivate parziali e la relazione $ah=\frac{\partial f}{\partial x }h_1+\frac{\partial f}{\partial y }h_2$,
da cui segue facilmente quello che dice Alexp.
Il teorema del differenziale totale, per quanto mi risulta dice che se esistono le derivate parziali nell'intorno del punto e sono continue nel punto,
allora la funzione e' differenziabile nel punto.
Quello che scrive Alexp e' comunque vero e segue dalla definizione di differenziabilita' /differenziale e dal riconoscere che, se il differenziale esiste esso si scrive in termini delle derivate parziali.
Per tornare alla domanda iniziale forse va esplicitata la definizione in termine di o piccoli che e' stata data a satoshi.
Dire che esiste una applicazione lineare $a$ tale che $f(x+h)=f(x)+ah+o(h)$ equivale a
$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)-ah}{||h||}=0$ o anche a $\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)-a(y-x)}{||y-x||}=0$
Come dicevo prima e' semplice vedere che l'esistenza del differenziale implica l'esistenza delle derivate parziali e la relazione $ah=\frac{\partial f}{\partial x }h_1+\frac{\partial f}{\partial y }h_2$,
da cui segue facilmente quello che dice Alexp.
Si hai ragione ViciousGoblin...ho corretto!
Ok ,ragazzi vi ringrazio tutti! Vi saluto e spero di non dovervi disturbare più ma se dovesse succedere sarei felice di poter contare sul vostro aiuto
Un quesito.
Il punto $(x_0,y_0)$ è un punto escluso dal dominio di una delle due derivate parziali?
Il punto $(x_0,y_0)$ è un punto escluso dal dominio di una delle due derivate parziali?
Una funzione è differenziabile se è soddisfatta l'eguaglianza di Schwarz.
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