Differenziabilità 2

[lollo861]

ciao a tutti
vorrei proporre un esercizio (mi viene come soluzione a>0 ma nn sono sicuro)
discutere la continuità , derivabilità(parziale e direzionale) e differenziabilità della seguente funzione

f(x,y)= { (|x|^a) * sin(y) in R^2 \{(0,0)} a appartiene a R
{ 0 in (0,0)

ps:(mi viene come soluzione a>0 per continuità e differenziabilità ma nn sono sicuro e la derivata parziale rispetto ad x in (0,0)esiste per ogni a, mentre la derivata parziale rispetto ad y in (0,0)esiste per a>0 cosi come la derivata direzionale )

grazie a tutti....
lollo86

[lollo861]

nessunmo mi risponde.....????
vorrei sapere se è giusto .....
grazie a tutti

[Sk_Anonymous]

caro lollo
essendo la funzione da te proposta del tipo

(x,y)= g(x)*h(y) [1]

… è del tutto evidente che le sue derivate parziali possono essere determinate in maniera indipendente per le due variabili e pertanto ci si può concentrare sulla funzione in x, quella delle due che presenta criticità. Valutiamo quindi la derivabilità di…

g(x)= !x!^a [2]

Per prima cosa osserviamo che g(x) è una funzione ‘pari’ [ovvero g(x)=g(-x)…], e pertanto la sua derivata, nei punti dove esiste, è una funzione ‘dispari’ [ovvero g’(x)=-g’(-x)…]. Questa semplice considerazione ci consente di valutare la funzione e la sua derivata unicamente per x>=0. In particolare il fatto che g’(x) sia funzione ‘dispari’ ci dice che per x=0 la derivata g’(x) esiste se e solo se è g’(0)=0. Determiniamo ora formalmente la g’(x) per x>0…

g’(x)= a* x^(a-1) [3]

E’ evidente che vi sono tre casi distinti…

a) per a>1 la derivata in x=0 esiste ed è g’(0)=0
b) per a=1 la derivata in x=0 vale 1 e quindi g'(0) non esiste
c) per a<1 la derivata in x=0 non esiste e quindi g'(0) non esiste

cordiali saluti

lupo grigio

[lollo861]

grazie della dritta ma nn sono affatto convinto......

[Sk_Anonymous]

Sei sicuro della definizione di f? Mi sembra strano, dalla forma data, che ti diano una funzione non definita su tutto R^2, per certi valori di a. Se a<0, f non e' definita sull'asse x=0.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[lollo861]

si ha ragione .....mi scuso

f(x,y)={(|x|^a)*sin (y) in x!=0
{ 0 in x=0

[Sk_Anonymous]

Allora:
1) Continuità: la funzione data è continua su tutto R^2 se e solo se a>0, come è facile verificare. Se a<=0, allora la funzione è continua solo in R^2 meno l'asse x=0.
2) Derivabilità parziale: la funzione è derivabile parzialmente in tutto R^2 meno x=0, poiche' prodotto di funzioni derivabili parzialmente, per ogni a reale. Sulla retta x=0, si ha che esiste la derivata parziale rispetto ad x e vale 0 se a>1, mentre esiste per ogni a reale, ed e' nulla, la derivata parziale rispetto a y.
3) Derivabilità direzionale: in R^2 meno x=0 la funzione e' derivabile in tutte le direzioni per ogni a reale. Sulla retta x=0 si ha ancora che la derivata direzionale esiste solo se a>1, e vale 0.
4) Differenziabilità: in tutto R^2 meno x=0 la funzione e' differenziabile per ogni a reale; sulla retta x=0 anzitutto per avere differenziabilità si deve avere continuità ed esistenza di tutte le derivate direzionali. Quindi intanto deve essere a>1. Osserva poi che il differenziale, se c'e', deve essere nullo. Andando a verificare la definizione di differenziale nullo, si trova che e' soddisfatta se a>1 (un limite da fare in coordinate polari).



Luca Lussardi
http://www.llussardi.it