Differenziabilità

[TS778LB]

Dire se la seguente funzione è differenziabile nel suo insieme di definizione.
$ f(x,y)={ ( arctan(\frac{x}{y-2})ify\ne2 ),( -\frac{\pi}{2}ify=2):} $
Ho determinato le derivate prime di f
$ f_x(x,y)={ ( \frac{(y-2)^2}{(y-2)^2+x^2} ify\ne2 ),( 0 ify=2 ):} $
$ f_y(x,y)={ ( \frac{-x^2}{(y-2)^2+x^2}ify\ne2 ),( 0 ify=2 ):} $
Entrambe le funzione sono continue per $ y\ne2 $. La funzione di partenza è quindi differenziabile nell'aperto $ y\ne2 $. Per verificare a differenziabilità per $ y=2 $ ho pensato di calcolare questi limiti per vedere se le derivate prime sono continue per $ y=2 $:
$ lim_((x,y) -> (x_0,2))f_x(x,y)=lim_((x,y) -> (x_0,2)) \frac{(y-2)^2}{(y-2)^2+x^2}=0 $
$ lim_((x,y) -> (x_0,2))f_y(x,y)=lim_((x,y) -> (x_0,2)) \frac{-x^2}{(y-2)^2+x^2}=-1\ne0 $
La derivata parziale $ f_y(x,y) $ non è continua in $ y=2 $ e quindi la funzione di partenza non è ivi differenziabile.
E' giusto il ragionamento che ho fatto e il modo in cui ho impostato (introducendo il generico punto $ x_0 $) il limite per verificare la continuità delle derivate parziali?

[anonymous_0b37e9]

Non è necessario studiare le derivate parziali. La funzione, non essendo continua nel suo dominio di definizione, non è differenziabile.

[TS778LB]

Quindi potrei restringere la funzione per $ y\ne2 $ alla generica retta verticale $ x=x_0 $
$ f(x_0,y)=\arctan(\frac{x_o}{y-2}) $
e calcolare il limite per $ y->2 $
$ lim_(x -> 2^+)arctan(\frac{x_0}{y-2})=\pi/2ifx_0>0or-\pi/2ifx_0<0 $
$ lim_(x -> 2^-)arctan(\frac{x_0}{y-2})=-\pi/2ifx_0>0or\pi/2ifx_0<0 $
e concludere che il limite non esiste e che quindi la funzione non è continua.
Va bene come verifica?

[anonymous_0b37e9]

Direi proprio di sì.