Differenziabilità
Faccio sempre confusione su questa cosa, vorrei chiarirmi, allora leggendo un esercizio e le sue soluzioni mi dice che una certa funzione è differenziabile, ma non è \( C^1 \) perché ad esempio la sua derivata parziale su \( y \) non è continua.
Allora una funzione \(f \) differenziabile in un punto \( x_0 \) per definizione è una funzione approssimabile da una funzione lineare con un resto infinitesimo in un intorno \( x_0 \).
Se differenziabile su tutto un insieme \( E \) mi garantisce che tutte le derivate parziali esistono e pure le derivate direzionali esistono. In particolare \( f \) continua, ma le derivate parziali (e/o direzionali) non sono necessariamente continue. Le derivate direzionali inoltre sono date da \( D_v f = \nabla f \cdot v \).
Una funzione \( C^1 \) è una funzione differenziabile le cui derivate parziali sono continue e come prima le derivate direzionali \( D_v f = \nabla f \cdot v \), dunque anche le derivate direzionali sono continue, corretto? Quindi essere \( C^1 \) è condizione sufficiente ma non necessaria alla differenziabilità, essere \( C^0 \) è condizione necessaria ma non sufficiente per essere differenziabile dunque c'è uno spazio "in mezzo" tra \( C^0 \) e \( C^1 \) che contiene tutte le funzioni differenziabili, corretto?
Inoltre se una funzione non è differenziabile, potrebbero comunque esistere tutte le derivate direzionali e tutte le derivate parziali?
Ho dimenticato qualcosa? Ho fatto qualche errore?
Allora una funzione \(f \) differenziabile in un punto \( x_0 \) per definizione è una funzione approssimabile da una funzione lineare con un resto infinitesimo in un intorno \( x_0 \).
Se differenziabile su tutto un insieme \( E \) mi garantisce che tutte le derivate parziali esistono e pure le derivate direzionali esistono. In particolare \( f \) continua, ma le derivate parziali (e/o direzionali) non sono necessariamente continue. Le derivate direzionali inoltre sono date da \( D_v f = \nabla f \cdot v \).
Una funzione \( C^1 \) è una funzione differenziabile le cui derivate parziali sono continue e come prima le derivate direzionali \( D_v f = \nabla f \cdot v \), dunque anche le derivate direzionali sono continue, corretto? Quindi essere \( C^1 \) è condizione sufficiente ma non necessaria alla differenziabilità, essere \( C^0 \) è condizione necessaria ma non sufficiente per essere differenziabile dunque c'è uno spazio "in mezzo" tra \( C^0 \) e \( C^1 \) che contiene tutte le funzioni differenziabili, corretto?
Inoltre se una funzione non è differenziabile, potrebbero comunque esistere tutte le derivate direzionali e tutte le derivate parziali?
Ho dimenticato qualcosa? Ho fatto qualche errore?
Risposte
Va tutto benissimo; solo una cosa: $E$ deve essere aperto. Essere differenziabile su un insieme non aperto non garantisce un bel niente.
Lo spazio "in mezzo" è molto complicato da caratterizzare completamente. Ecco perché si preferisce considerare lo spazio \(C^1\) che è molto più gestibile.
P.S.: Some food on the latter statement:
https://math.stackexchange.com/a/1267344/8157
Off-topic:
[ot]Quote1: "the sheaf needs to be defined, and this is usually done at some point using coordinate patches ; you do not get away from dealing with charts when doing differential geometry."
Quote2: "generalizing for the sake of generalizing usually leads to being confused and losing intuition, which is not what you want".
Questo lo dice un geometra algebrico, e io sono pienamente d'accordo. Su questo forum c'è gente che spaccia l'idea contraria.[/ot]
Lo spazio "in mezzo" è molto complicato da caratterizzare completamente. Ecco perché si preferisce considerare lo spazio \(C^1\) che è molto più gestibile.
P.S.: Some food on the latter statement:
https://math.stackexchange.com/a/1267344/8157
Off-topic:
[ot]Quote1: "the sheaf needs to be defined, and this is usually done at some point using coordinate patches ; you do not get away from dealing with charts when doing differential geometry."
Quote2: "generalizing for the sake of generalizing usually leads to being confused and losing intuition, which is not what you want".
Questo lo dice un geometra algebrico, e io sono pienamente d'accordo. Su questo forum c'è gente che spaccia l'idea contraria.[/ot]
Si le derivate parziali possono esistere lo stesso anche in caso di mancata differenziabilità, per quanto riguarda le derivate direzionali non so se possano esistere tutte senza che sia differenziabile
Mi viene in mente $f(x,y)={(0 if (x,y) in A),(1 if (x,y) notinA):}$
Dove
Penso sia derivabile in $(0,0)$ su tutte le direzioni del tipo $v=(1,q)$ senza essere differenziabile nell’origine e penso anche che si possa fare un esempio in cui questo valga per ogni direzione ma su due piedi non mi viene nulla
Per ultima cosa basta la differenziabilità in un punto a garantirti che in quel punto esistano tutte le derivate direzionali.
Mi viene in mente $f(x,y)={(0 if (x,y) in A),(1 if (x,y) notinA):}$
Dove
$A=bigcup_(q inQQ){(x,y) inRR^2:y=qx}cup{(0,y)inRR^2:y inRR}$
Penso sia derivabile in $(0,0)$ su tutte le direzioni del tipo $v=(1,q)$ senza essere differenziabile nell’origine e penso anche che si possa fare un esempio in cui questo valga per ogni direzione ma su due piedi non mi viene nulla
Per ultima cosa basta la differenziabilità in un punto a garantirti che in quel punto esistano tutte le derivate direzionali.
"anto_zoolander":Ma certamente. Puoi anche costruire una funzione che ammette derivate direzionali in tutte le direzioni ma non è nemmeno continua. Purtroppo devo scappare e non mi posso mettere a scrivere dettagli, ma sono esempi classici da libro.
per quanto riguarda le derivate direzionali non so se possano esistere tutte senza che sia differenziabile
Il concetto è che le restrizioni ai segmenti sono troppo poche, per poter affermare qualcosa di "globale". Una funzione può essere derivabile lungo un segmento, ma non essere neanche continua se ristretta, per esempio, a una parabola.
Mi intrometto anche se ne so pochissimo per dire che in quanto ho studiato io si è fatta la distinzione tra differenziabilità secondo Gateaux, che si ha quando le derivate direzionali esistono e l'operatore differenziale (che associa a ogni vettore la sua derivata derizionale, in tal caso vale la formula del gradiente $f_{v}=<\grad(f),v>$ ) è lineare, e secondo Frechet che si ha quando valee quel limite tipo differenziabilita in una variabile con un certo operatore lineare (che poi è l'operatore di Gateaux)
E Frechet implica Gateaux, ma non viceversa. Poi ci sono funzioni (pure continue) con tutte le derivate direzionali ma non differenziabili perché l'operatore non viene lineare, e altre che non sono nemmeno continue pur avendo le derivate direzionali ed essendo Gateux-differenziabili (ma non Frechet perché Frechet implica la continuità).
Questo può aiutare spero a evitare un po' di confusione anche se ho scritto un po' in fretta...
E Frechet implica Gateaux, ma non viceversa. Poi ci sono funzioni (pure continue) con tutte le derivate direzionali ma non differenziabili perché l'operatore non viene lineare, e altre che non sono nemmeno continue pur avendo le derivate direzionali ed essendo Gateux-differenziabili (ma non Frechet perché Frechet implica la continuità).
Questo può aiutare spero a evitare un po' di confusione anche se ho scritto un po' in fretta...
Grazie a tutti, gentilissimi.
Solo una cosa come mai \( E \) dev'essere aperto?
[ot]chi è questo geometra algebrico?[/ot]
Solo una cosa come mai \( E \) dev'essere aperto?
[ot]chi è questo geometra algebrico?[/ot]
Perché gli aperti ti danno una certa libertà di movimento in quanto se prendi un punto in esso puoi muoverti a sufficienza in ogni direzione nella palletta ; sul bordo di un chiuso la cosa è diversa.
Giusto... ma quindi se ho una funzione differenziabile su un compatto, sul suo "interno" posso dedurre tutte le cose di cui sopra ma sul bordo devo stare attento o proprio non ha senso parlare di differenziabilità su un insieme che non sia aperto?
Ha senso e se non sbaglio sul pagani salsa è discusso questo problema.
E' tutto un problema di "direzioni" ammissibili visto che dal bordo è facile che cadi fuori
E' tutto un problema di "direzioni" ammissibili visto che dal bordo è facile che cadi fuori
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