Differenziabilità

[anto_zoolander]

Ciao! sto studiando la differenziabilità negli spazi normati e si è omessa la dimostrazione della differenziabilità di funzioni composte, pertanto ho provato a farla da solo:

in realtà vale più in generale per gli spazi euclidei, ma la dimostrazione è pressoché identica.

come definizione di differenziabilità si è usata quella del De Marco(Analisi Due, volume unico)

siano $V,W$ due $RR$ spazi normati e sia $U$ un aperto di $V$.
Diremo che una funzione $f:U->W$ è differenziabile in un punto $x_0 in U$ se esiste una funzione lineare continua $L:V->W$ per cui valga

$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0)-L(h))/||h||_V =0$

Con $h,k$ denoterò vettori

userò un lemma sulle funzioni lineari e continue preso dal Lang(undergraduate analysis, capitolo derivative in vector space(grazie dissonance))

sia $L:V->W$ una funzione lineare tra i due $RR$ spazi normati.
$L$ è continua in $0$ $<=>$ $exists delta>0 in RR:forallv in V, ||L(v)||leqdelta||v||$ $<=>$ $L$ è Lipschitz

ora prendo $V,W,U$ tre $RR$ spazi normati e due aperti $XsubseteqV$ e $YsubseteqU$.
Inoltre prendo due funzioni $f:X->Y$ e $g:Y->W$. Supponiamo che $f$ sia differenziabile in $x_0$ e $g$ in $f(x_0)$.
Comincio la dimostrazione

per prima cosa scrivo, date le ipotesi:

$f(x_0+k)=f(x_0)+L(k)+o(||k||), k->0$

$g(f(x_0)+h)=g(f(x_0))+T(h)+o(||h||), h->0$

pongo $h=f(x_0+k)-f(x_0)$ allora ottengo

$g(f(x_0+k))-g(f(x_0))=T(f(x_0+k)-f(x_0))+o(||f(x_0+k)-f(x_0)||)$

sottraggo la quantità $T(L(k))$ ad entrambi i membri e divido per $||k||$ portandomi nella forma

[size=75]$(g(f(x_0+k))-g(f(x_0))-TcircL(k))/(||k||)=T((f(x_0+k)-f(x_0)-L(k))/(||k||))+(o(||f(x_0+k)-f(x_0)||))/(||f(x_0+k)-f(x_0)||)*||(f(x_0+k)-f(x_0))/(||k||)||$[/size]

la linearità di $T$ l'ho usata per entrare il vettore $L(k)$ e lo scalare $||k||$

il lemma del Lang lo uso per dire che esiste un $delta>0: ||T(v)||leqdelta||v||$ e quindi

$||T((f(x_0+k)-f(x_0)-L(k))/(||k||))||leqdelta ||(f(x_0+k)-f(x_0)-L(k))/(||k||)|| ->0$

$(o(||f(x_0+k)-f(x_0)||))/(||f(x_0+k)-f(x_0)||) ->0$

non resta che mostrare che l'altra quantità sia limitata.

ma di fatto $||(f(x_0+k)-f(x_0))/(||k||)|| leq ||(f(x_0+k)-f(x_0)-L(k))/(||k||)||+|| L(k/(||k||)) ||$

usando ora il lemma su $L$(supponendo che $gamma$ sia la costante incriminata) si mostra che $||L(k/(||k||))||leqgamma$ e l'altra quantità tende a zero, pertanto l'asserto dovrebbe essere provato.

Che ne pensate? Ho provato a partorirla da solo.

[dissonance]

Cosa poni a fare \(h\) se poi non lo usi? Correggi per favore.

Sono contento che ti sia piaciuto il libro.

[anto_zoolander]

Un libro davvero davvero bello, penso il migliore che mi sia mai stato consigliato.

Intendi semplicemente di stimare $g(f(x_0+k))$ senza tirare in gioco $h$ giusto? Comunque l’ho definito solo per completezza.

[dissonance]

Io dico una cosa proprio di base, di scrittura della matematica. Se io definisco un simbolo, dico ad esempio "sia \(h=\text{questo e quello}\)", poi lo devo usare. Altrimenti, cosa l'ho definito a fare?

Da lettore, mi infastidisco se trovo un simbolo inutile, e mi porta a smettere subito di leggere.

[anto_zoolander]

In effetti essendo $g$ differenziabile potevo partire direttamente da dopo la posizione.
Comunque la dimostrazione è corretta? Ci tengo molto, sopratutto per la giustificazione dei passaggi.

[dissonance]

Ok ho capito cosa volevi dire. Poni $h$ nell'equazione precedente. Allora va bene. "Entrare il vettore e lo scalare" non si può leggere però

[anto_zoolander]

Volevo abbreviare il più possibile, ero rimasto con l’1% di batteria
Ma infatti ho scritto che partendo dalla differenziabilità di $g$ mi conducevo lungo la strada di mio interesse ‘sfruttando’ quel $h$.

[ot]ti ho mandato una considerazione importante per posta.[/ot]