Differenziabilità
Ho la funzione:
$ f(x,y)={ ( (sen(y^3))/(y^2+x^4) if (x,y)!=(0,0)),( 0 if (x,y)=0 ):} $
Ho dimostrato che è continua nell'origine e che le derivate parziali nell'origine esistono e sono $ (partial f)/(partial x) =0 $ e $ (partial f)/(partial y) =1 $, il problema è la differenziabilità, ho il limite
$ lim_((h,k)->(0,0)) ((senk^3)/(k^2+h^4)-k)/(sqrt(k^2+h^2) $
per maggiorazioni non ottengo nulla, ho che $ 0<=| ((senk^3)/(k^2+h^4)-k)|/(sqrt(k^2+h^2))<=2$ e ,se non ho sbagliato i calcoli, il limite esiste nelle direzioni $(h,mh)$ $(mk,k)$ e $(h,h^2)$
per maggiorazioni non posso dimostrare che esiste e non riesco a trovare una retta per cui non vale il limite, idee?
$ f(x,y)={ ( (sen(y^3))/(y^2+x^4) if (x,y)!=(0,0)),( 0 if (x,y)=0 ):} $
Ho dimostrato che è continua nell'origine e che le derivate parziali nell'origine esistono e sono $ (partial f)/(partial x) =0 $ e $ (partial f)/(partial y) =1 $, il problema è la differenziabilità, ho il limite
$ lim_((h,k)->(0,0)) ((senk^3)/(k^2+h^4)-k)/(sqrt(k^2+h^2) $
per maggiorazioni non ottengo nulla, ho che $ 0<=| ((senk^3)/(k^2+h^4)-k)|/(sqrt(k^2+h^2))<=2$ e ,se non ho sbagliato i calcoli, il limite esiste nelle direzioni $(h,mh)$ $(mk,k)$ e $(h,h^2)$
per maggiorazioni non posso dimostrare che esiste e non riesco a trovare una retta per cui non vale il limite, idee?
Risposte
Metti la frazione nella forma
\[
\frac{\sin k^3 -k^3-h^4k}{(k^2+h^4)(k^2+h^2)^\frac12}, \]
poi usa che \(\sin k^3 - k^3 = o(k^8)\) e arrivi a
\[
\frac{o(k^8)-h^4k}{(k^2+h^4)(k^2+h^2)^\frac12},\]
e qua si vede meglio cosa succede, per esempio puoi usare le coordinate polari.
\[
\frac{\sin k^3 -k^3-h^4k}{(k^2+h^4)(k^2+h^2)^\frac12}, \]
poi usa che \(\sin k^3 - k^3 = o(k^8)\) e arrivi a
\[
\frac{o(k^8)-h^4k}{(k^2+h^4)(k^2+h^2)^\frac12},\]
e qua si vede meglio cosa succede, per esempio puoi usare le coordinate polari.
Perdonami, stavo provando a procedere in coordinate polari ma non capisco il perchè di $ o(k^8)$, come lo devo gestire?
Nel modo ovvio: \(o(k^8)=o(r^8\sin^8\theta)\).
Insomma, passando in coordinate polari hai da calcolare
\[
\lim_{r\to 0} \frac{o(r^5\sin^8\theta) -r^2\cos^4\theta\sin \theta}{\sin^2\theta + r^2\cos^4\theta}.\]
Mi pare che questo faccia \(0\) uniformemente in \(\theta\in [0, 2\pi]\).
\[
\lim_{r\to 0} \frac{o(r^5\sin^8\theta) -r^2\cos^4\theta\sin \theta}{\sin^2\theta + r^2\cos^4\theta}.\]
Mi pare che questo faccia \(0\) uniformemente in \(\theta\in [0, 2\pi]\).
Si, intendevo perchè mi è utile usare l'o piccolo come $(k^8)$?
ponendo $x=rcostheta$
$y=rsentheta$
non posso fermarmi a
\( \sin k^3 = k^3 +o(k^5) \) ?
\[ \lim_{r\to 0} \frac{o(r^5\sin^5\theta) -r^5\cos^4\theta\sin \theta}{r^3(\sin^2\theta + r^2\cos^4\theta)}. \]
non va bene:
$ lim_(r -> 0) \frac{r^5(o((r^5\sin^5\theta)/r^5) -\cos^4\theta\sin \theta}. \] ({r^3(\sin^2\theta + r^2\cos^4\theta)}) $
?
Se è possibile dimostrarlo in coordinate polari mi chiedevo poi se fosse possibile per maggiorazioni, $ ((senk^3)/(k^2+h^4)-k)/(sqrt(k^2+h^2)) <= |senk^3|/[(sqrt(k^2+h^2))(k^2+h^4)]+|k|/(sqrt(k^2+h^2) )$
ponendo $x=rcostheta$
$y=rsentheta$
non posso fermarmi a
\( \sin k^3 = k^3 +o(k^5) \) ?
\[ \lim_{r\to 0} \frac{o(r^5\sin^5\theta) -r^5\cos^4\theta\sin \theta}{r^3(\sin^2\theta + r^2\cos^4\theta)}. \]
non va bene:
$ lim_(r -> 0) \frac{r^5(o((r^5\sin^5\theta)/r^5) -\cos^4\theta\sin \theta}. \] ({r^3(\sin^2\theta + r^2\cos^4\theta)}) $
?
Se è possibile dimostrarlo in coordinate polari mi chiedevo poi se fosse possibile per maggiorazioni, $ ((senk^3)/(k^2+h^4)-k)/(sqrt(k^2+h^2)) <= |senk^3|/[(sqrt(k^2+h^2))(k^2+h^4)]+|k|/(sqrt(k^2+h^2) )$
Sull'o piccolo non ci ho pensato molto, in realtà. Quanto al resto, sicuramente se si può risolvere in coordinate polari si può risolvere anche per maggiorazioni, solo che francamente non ho proprio tempo di pensarci adesso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo