Differenziabilità
Dubbio banale:
Perché se la derivata direzionale calcolata in un punto (ad esempio nel punto $(0,0)$, come nel caso svolto a lezione essendo in tale esercizio lo (0,0) un punto di accumulazione per f) dove la funzione è ivi CONTINUA e tale derivata direzionale assume ad esempio la forma $(cos ^2(a)sen(a))/(5cos^2(a)+2sen(a))$ ottenuta dalla definizione di rapporto incrementale in $(0,0)$ lungo la direzione generica $t(cos(a),sen(a))$ allora posso automaticamente dire che tale funzione NON è DIFFERENZIABILE in $(0,0)$ ?
Il professore ha invocato la formula del gradiente e concluso che essendo tale derivata direzionale, non lineare in seno e coseno, allora f non è differenziabile.
Riuscireste a farmi capire come mai?
grazie mille
Perché se la derivata direzionale calcolata in un punto (ad esempio nel punto $(0,0)$, come nel caso svolto a lezione essendo in tale esercizio lo (0,0) un punto di accumulazione per f) dove la funzione è ivi CONTINUA e tale derivata direzionale assume ad esempio la forma $(cos ^2(a)sen(a))/(5cos^2(a)+2sen(a))$ ottenuta dalla definizione di rapporto incrementale in $(0,0)$ lungo la direzione generica $t(cos(a),sen(a))$ allora posso automaticamente dire che tale funzione NON è DIFFERENZIABILE in $(0,0)$ ?
Il professore ha invocato la formula del gradiente e concluso che essendo tale derivata direzionale, non lineare in seno e coseno, allora f non è differenziabile.
Riuscireste a farmi capire come mai?
grazie mille
Risposte
Non ho capito molto. Dovrei vedere la funzione.
Mi sembra di intuire dai tuoi discorsi che il professore abbia parlato della formula del gradiente per le derivate direzionali.
Teorema Sia $D\subseteq\mathbb{R}^2$ un aperto, $f:D\rightarrow\mathbb{R} $ una funzione differenziabile in $(x_0,y_0)\in D$, allora la derivata direzionale di $f$ nel punto $(x_0,y_0)$ lungo il versore $(v_1,v_2)$ si può calcolare nel modo seguente
Nel tuo caso se il dominio è un aperto o, per lo meno, se $(0,0)$ è un punto interno al dominio allora, se f fosse differenziabile, potresti usare questa formula per le derivate direzionali. Ma siccome l'espressione che hai trovato non è una combinazione lineare di $sin(a)$ e $cos(a)$ (nel nostro caso $v_1=cos(a)$, $v_2=sin(a)$), allora $f$ non può essere differenziabile in $(0,0)$. Ti torna?
Mi sembra di intuire dai tuoi discorsi che il professore abbia parlato della formula del gradiente per le derivate direzionali.
Teorema Sia $D\subseteq\mathbb{R}^2$ un aperto, $f:D\rightarrow\mathbb{R} $ una funzione differenziabile in $(x_0,y_0)\in D$, allora la derivata direzionale di $f$ nel punto $(x_0,y_0)$ lungo il versore $(v_1,v_2)$ si può calcolare nel modo seguente
$ (partial f)/(partial v)(x_0,y_0)=\nablaf(x_0,y_0)\cdotv =v_1\ (partial f)/(partial x)(x_0,y_0)+ v_2\ (partial f)/(partial y)(x_0,y_0)$
Nel tuo caso se il dominio è un aperto o, per lo meno, se $(0,0)$ è un punto interno al dominio allora, se f fosse differenziabile, potresti usare questa formula per le derivate direzionali. Ma siccome l'espressione che hai trovato non è una combinazione lineare di $sin(a)$ e $cos(a)$ (nel nostro caso $v_1=cos(a)$, $v_2=sin(a)$), allora $f$ non può essere differenziabile in $(0,0)$. Ti torna?
Splendido!
Per essere lineare in seno e coseno la derivata direzionale deve per forza essere una combinazione lineare di $(cos(a),sin(a))$ o può anche essere una combinazione lineare in uno spazio di polinomi (che è comunque uno spazio vettoriale)? Per esempio $7cos^2(a) -2sin^3(a)$? Effettivamente sono in difficoltà perché il teorema non è stato fatto in classe e usiamo in genere la definizione per verificare la differenziabilità. L'esercizio in questione è stato svolto durante tutorato e risolto in questo modo dando per scontato l'aver visto il teorema.
Ti ringrazio per l'aiuto
Per essere lineare in seno e coseno la derivata direzionale deve per forza essere una combinazione lineare di $(cos(a),sin(a))$ o può anche essere una combinazione lineare in uno spazio di polinomi (che è comunque uno spazio vettoriale)? Per esempio $7cos^2(a) -2sin^3(a)$? Effettivamente sono in difficoltà perché il teorema non è stato fatto in classe e usiamo in genere la definizione per verificare la differenziabilità. L'esercizio in questione è stato svolto durante tutorato e risolto in questo modo dando per scontato l'aver visto il teorema.
Ti ringrazio per l'aiuto
"Lebby":
Splendido!
Per essere lineare in seno e coseno la derivata direzionale deve per forza essere una combinazione lineare di $(cos(a),sin(a))$ o può anche essere una combinazione lineare in uno spazio di polinomi (che è comunque uno spazio vettoriale)? Per esempio $7cos^2(a) -2sin^3(a)$? Effettivamente sono in difficoltà perché il teorema non è stato fatto in classe e usiamo in genere la definizione per verificare la differenziabilità. L'esercizio in questione è stato svolto durante tutorato e risolto in questo modo dando per scontato l'aver visto il teorema.
Ti ringrazio per l'aiuto
Bah l'espressione esplicitamente può non essere in seno e coseno. Basta che parti da un versore non scritto in seno e coseno. Ad esempio se prendi $v=(a,b)$ di norma 1 ($a^2+b^2=1$) e vuoi calcolare le derivate direzionali di della funzione
\( f(x)=\begin{cases} \frac{\sqrt{xy}}{x^2+y^2}&(x,y)\ne(0,0) \\ 0 &(x,y)=(0,0)\end{cases} \)
allora con la definizione ottieni che \( \frac{\partial f}{\partial v}(0,0)= \displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{f(at,bt)-f(0,0)}{t} =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sqrt{ab}t}{t(a^2+b^2)} =\sqrt{ab} \) che esplicitamente non è in seno e coseno.
Ma come fate a non aver fatto quel teorema...ma che vi insegnano...
me lo chiedo anche io ahah è troppo importante... ma penso che lo faremmo all'ultimo quando faremo i teoremi di Green Gauss e Stokes
Comunque per rispondere a Mauri54: questo lo so perché noi usiamo sempre la definizione di limite per il calcolo della derivata direzionale in un punto. E usiamo sia seno/coseno sia $f(p+t(v1,v2))-f(p)$ . Facciamo adesso il caso di usare il seno e il coseno: per stabilire subito la non differenziabilità mi è sufficiente osservare che qualora la derivata direzionale non sia lineare in seno e coseno allora per il il T DEL GRADIENTE la funzione non è differenziabile. Ma se la derivata direzionale fosse lineare in senso polinomiale? Questa è la mia domanda ma penso che questa situazione non sia sensata perché un vettore di coseni/seni di grado crescente non ha senso pensarlo dato che $v=(cos(a),sen(a))$ e quindi indipendentemente dalle derivate parziali date dal gradiente di f è richiesta la linearità di coseno e seno al primo grado. Sbaglio?
"Lebby":
Comunque per rispondere a Mauri54: questo lo so perché noi usiamo sempre la definizione di limite per il calcolo della derivata direzionale in un punto. E usiamo sia seno/coseno sia $f(p+t(v1,v2))-f(p)$ . Facciamo adesso il caso di usare il seno e il coseno: per stabilire subito la non differenziabilità mi è sufficiente osservare che qualora la derivata direzionale non sia lineare in seno e coseno allora per il il T DEL GRADIENTE la funzione non è differenziabile. Ma se la derivata direzionale fosse lineare in senso polinomiale? Questa è la mia domanda ma penso che questa situazione non sia sensata perché un vettore di coseni/seni di grado crescente non ha senso pensarlo dato che $v=(cos(a),sen(a))$ e quindi indipendentemente dalle derivate parziali date dal gradiente di f è richiesta la linearità di coseno e seno al primo grado. Sbaglio?
Se tu prendi il versore direzionale come $v=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ e il punto è interno al dominio allora deve essere per forza una combinazione lineare in seno e coseno. Lo dice il teorema che ti ho citato sopra. Quindi altre forme non ce ne sono.
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