Differenziabilità
Ho un dubbio sulla differenziabilità di questa funzione. O meglio sui passaggi fatti per dimostrarlo.
$ f(x,y) = (|x|-x)|y| -3y +1 $
Devo dire se è differenziabile in $ (x,y)=(0,0) $
Ora, mi devo studiare la continuità in tale punto e poi calcolarmi le derivate parziali sempre nello stesso punto.
Sulla continuità non ho problemi (credo) e quindi la funzione è continua.
Sulle derivate parziali anche non ho problemi perchè:
$ lim_(h to 0) (f(h,o)-f(0,0))/h= 0 $
$ lim_(k to 0) (f(0,k)-f(0,0))/k = 0 $
Quindi:
$ f_x (x,y)=0 $
$f_y (x,y) =-3 $
Allora posso studiare la differenziabilità.
Il dubbio sta sui passaggi fatti per dire che il limite è proprio zero.
$ lim_((h,k) to (0,0)) ((|h|-h)|k| -3k +1 -1 +3k)/(sqrt(h^2 +k^2)) = lim_((h,k) to (0,0)) ((|h|-h) |k|)/(sqrt(h^2 + k^2)) $
Il problema è questo limite. Infatti io ho risolto così:
$ 0<= (|h|-h)/((sqrt(h^2 + k^2))) <= 2h/(sqrt(h^2 +k^2)) $
Quindi posso (?!?) dire che:
$ 0<= ((|h|-h)|k|)/ (sqrt (h^2 + k^2)) <= h/(sqrt(h^2 + k^2)) 2|k| <= 2|k| <= 2(|h|+|k|)$
Questo ultimo termine tende a zero e quindi il limite iniziale (ovvero quello della differenziabilità) è proprio zero.
Ragionare in questo modo è giusto oppure dovevo fare in un altro modo...chiedo questo perchè prima usavo spesso le polari...ma in alcuni casi mi hanno portato a sbagliare...quindi preferirei capire bene l'uso del confronto per questi limiti...
Grazie mille in anticipo...
$ f(x,y) = (|x|-x)|y| -3y +1 $
Devo dire se è differenziabile in $ (x,y)=(0,0) $
Ora, mi devo studiare la continuità in tale punto e poi calcolarmi le derivate parziali sempre nello stesso punto.
Sulla continuità non ho problemi (credo) e quindi la funzione è continua.
Sulle derivate parziali anche non ho problemi perchè:
$ lim_(h to 0) (f(h,o)-f(0,0))/h= 0 $
$ lim_(k to 0) (f(0,k)-f(0,0))/k = 0 $
Quindi:
$ f_x (x,y)=0 $
$f_y (x,y) =-3 $
Allora posso studiare la differenziabilità.
Il dubbio sta sui passaggi fatti per dire che il limite è proprio zero.
$ lim_((h,k) to (0,0)) ((|h|-h)|k| -3k +1 -1 +3k)/(sqrt(h^2 +k^2)) = lim_((h,k) to (0,0)) ((|h|-h) |k|)/(sqrt(h^2 + k^2)) $
Il problema è questo limite. Infatti io ho risolto così:
$ 0<= (|h|-h)/((sqrt(h^2 + k^2))) <= 2h/(sqrt(h^2 +k^2)) $
Quindi posso (?!?) dire che:
$ 0<= ((|h|-h)|k|)/ (sqrt (h^2 + k^2)) <= h/(sqrt(h^2 + k^2)) 2|k| <= 2|k| <= 2(|h|+|k|)$
Questo ultimo termine tende a zero e quindi il limite iniziale (ovvero quello della differenziabilità) è proprio zero.
Ragionare in questo modo è giusto oppure dovevo fare in un altro modo...chiedo questo perchè prima usavo spesso le polari...ma in alcuni casi mi hanno portato a sbagliare...quindi preferirei capire bene l'uso del confronto per questi limiti...
Grazie mille in anticipo...
Risposte
"Intermat":
[...] $ 0<= (|h|-h)/((sqrt(h^2 + k^2))) <= 2h/(sqrt(h^2 +k^2)) $ [...]
Qui ti manca un valore assoluto a destra, ma per il resto mi sembra tutto corretto (ho controllato solo la catena di maggiorazioni). Risolvere questi esercizi in maniera pulita non è mai banale, e la tua soluzione è elegante.
Grazie mille...
Il modulo non l'ho messo, sbagliando, perchè nella mia testa avevo separato $ h>0 $ che mi danno il fatto che la funzione è sempre nulla dagli $ h<0 $ che invece mi rendono la funzione sempre minore di quella scritta. Ora, se avessi messo il valore assoluto, avrei permesso anche ad altri di capire il mio ragionamento...che invece è rimasto solo nella mia testa...magari all'esame è meglio farle capire certe cose...
Il modulo non l'ho messo, sbagliando, perchè nella mia testa avevo separato $ h>0 $ che mi danno il fatto che la funzione è sempre nulla dagli $ h<0 $ che invece mi rendono la funzione sempre minore di quella scritta. Ora, se avessi messo il valore assoluto, avrei permesso anche ad altri di capire il mio ragionamento...che invece è rimasto solo nella mia testa...magari all'esame è meglio farle capire certe cose...
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