Differenziabilità
$ f_((x,y)) ={(y^(1/3)e^(-Y^2/x^4), se (x,y)!=(0,0)),(0 ,se (x,y)!=(0,0)):}$
ho verificato la continuità, ora dovrei verificare la differenziabilità e calcolare le derivate direzionali lungo tutte le direzioni..
non mi è ancora (eh, lo so) quale formula usare per verificare la differenziabilità.
le derivate direzionali non saprei come trovarle.
ho verificato la continuità, ora dovrei verificare la differenziabilità e calcolare le derivate direzionali lungo tutte le direzioni..
non mi è ancora (eh, lo so) quale formula usare per verificare la differenziabilità.
le derivate direzionali non saprei come trovarle.
Risposte
Per le derivate direzionali devi applicare la definizione, per cui
$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=a,\qquad f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=b$
Per la differenziabilità idem la definizione, cioè verificare che
$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,h)-f(0,0)-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$
$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=a,\qquad f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=b$
Per la differenziabilità idem la definizione, cioè verificare che
$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,h)-f(0,0)-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$
oh, perfetto ora ho le idee chiare sulle formule
grazie
grazie
"Mrs92":
$ f_((x,y)) ={(y^(1/3)e^(-Y^2/x^4), se (x,y)!=(0,0)),(0 ,se (x,y)!=(0,0)):}$
ho verificato la continuità, ora dovrei verificare la differenziabilità e calcolare le derivate direzionali lungo tutte le direzioni..
non mi è ancora (eh, lo so) quale formula usare per verificare la differenziabilità.
le derivate direzionali non saprei come trovarle.
Sbaglio o lungo tutto l'asse $y$, non solo l'origine, la nostra funzione non è definita?
Ho sostituito $y = (mx)^3$ per verificare l'esistenza del l limite...è sbagliato?
Sì, ma il problema è che allora la funzione iniziale è definita male. Non ha senso non definirla solo nel punto origine, dovrebbe essere definita uguale a zero su tutto l'asse delle ordinate.
P.S.: grazie gio, non avevo proprio visto la $x$ a denominatore dell'esponenziale.
P.S.: grazie gio, non avevo proprio visto la $x$ a denominatore dell'esponenziale.
OK, quindi come dovrei proseguire?
Per prima cosa credo che la definizione corretta sia questa:
\[f(x,y)=\left\{\begin{array}{lcl}
y^{1/3} e^{-y^2/x^4} & & x\ne 0\\
0 & & x=0
\end{array}\right.\]
Correggimi se sbaglio perché non vedo bene gli esponenti della $y$.
\[f(x,y)=\left\{\begin{array}{lcl}
y^{1/3} e^{-y^2/x^4} & & x\ne 0\\
0 & & x=0
\end{array}\right.\]
Correggimi se sbaglio perché non vedo bene gli esponenti della $y$.
la $y$ all'esponenziale è elevata alla seconda.
per il resto è come avevo scritto io all'inizio
per il resto è come avevo scritto io all'inizio
No, tu all'inizio avevi scritto che la funzione è definita nulla solo nell'origine: scrivendo come ho fatto io la definisci, correttamente, anche sull'asse delle ordinate.
A questo punto devi continuare esattamente come dicevamo: prima verifichi la continuità (stavolta in ogni punto del tipo $(0,y)$), poi calcoli le derivate parziali come sopra (di nuovo nei punti $(0,y)$) e concludi sulla differenziabilità.
A questo punto devi continuare esattamente come dicevamo: prima verifichi la continuità (stavolta in ogni punto del tipo $(0,y)$), poi calcoli le derivate parziali come sopra (di nuovo nei punti $(0,y)$) e concludi sulla differenziabilità.
ok, quindi posso dire che la funzione è continua sia nell'origine sia su tutto l'asse delle ordinate, e ovviamente negli altri punti.
a questo punto passo alle derivate parziali seguendo le formule suggerite sopra, giusto?
a questo punto passo alle derivate parziali seguendo le formule suggerite sopra, giusto?
Esatto.
proseguedo la risoluzione ottengo $f_x (0,0) = 0$ e $f_y (0,0) = 0$
quindi posso dire che le derivate parziali esistono e sono continue nell'origine e su tutto l'asse $y$
per la differenziabilità (non dovrebbe essere $f(h,k)$?) ottengo
$\lim_{(h,k)\to(0,0)} (root(3)(k) e^(-k^2/h^4)/(sqrt(h^2 + k^2)))$
a questo punto potrei porre $h=k$ ma non saprei come continuare, suggerimento?
quindi posso dire che le derivate parziali esistono e sono continue nell'origine e su tutto l'asse $y$
per la differenziabilità (non dovrebbe essere $f(h,k)$?) ottengo
$\lim_{(h,k)\to(0,0)} (root(3)(k) e^(-k^2/h^4)/(sqrt(h^2 + k^2)))$
a questo punto potrei porre $h=k$ ma non saprei come continuare, suggerimento?
In realtà il ragionamento da fare è abbastanza banale e diretto: è vero che hai una forma indeterminata in vari modi, tuttavia osserva che l'esponenziale ha come limite zero. Infatti, l'esponente è un infinito in quanto il grado del denominatore è maggiore di quello del denominatore, pertanto avendo al limite $e^{-\infty}$ ottieni zero come limite. Ma l'esponenziale, ragionando sui vari infinitesimi presenti, è quello di ordine maggiore, e quindi tutto il limite vale zero. Se proprio vuoi fare dei calcoli, puoi provare a porre $t=k/h^2$ e vedere cosa accade (osserva che $t\to \infty$).
OK grazie mille
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