Differenziabilità
In $x=0$ la derivata rispetto a $x$ è sbagliata giusto? Comunque questa funzione è differenziabile in quanto esistono le derivate parziali e sono continue in qualsiasi punto?
Risposte
Per calcolare la derivata $f_x(0,y)$ devi usare la definizione:
$f_x(0,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,y)-f(0,y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{y\cdot\frac{e^h-1}{h}-y}{h}=y\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1-h}{h^2}$
Poiché $e^h=1+h+{h^2}/2+o(h^2)$ allora
$f_x(0,y)=y\cdot\lim_{h\to 0}\frac{{h^2}/2+o(h^2)}{h^2}=y/2$.
Il fatto che sia differenziabili segue daò fatto che le derivate esistono continue su tutto il dominio.
$f_x(0,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,y)-f(0,y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{y\cdot\frac{e^h-1}{h}-y}{h}=y\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1-h}{h^2}$
Poiché $e^h=1+h+{h^2}/2+o(h^2)$ allora
$f_x(0,y)=y\cdot\lim_{h\to 0}\frac{{h^2}/2+o(h^2)}{h^2}=y/2$.
Il fatto che sia differenziabili segue daò fatto che le derivate esistono continue su tutto il dominio.
perchè bisogna fare così?
Perché questa è la definizione di derivata parziale. Quando le funzioni sono definite su pezzi di dominio le derivate parziali sulle parti "strane" (in questo caso la retta $x=0$) va calcolata con la definizione, Stessa cosa devi fare con la derivata parziale rispetto ad $y$.
quando è definita in $(x,y) \ne (0,0)$ e $(x,y) = (0,0)$ devo fare sempre come dici?
Sì, te l'ho scritto sull'altra discussione. Prova e fai sapere cosa succede.
Ciao!
Mi aggiungo anche io alla discussione perchè ho un dubbio sempre sulle derivate direzionali. Quando mi viene chiesto di verificare l'esistenza delle derivate parziali in un determinato punto (prendiamo per esempio $(0,0)$) devo utilizzare la definizione in questo modo:
Derivata parziale rispetto a x:
$lim_(t->0)(f[(0,0)-t(1,0)]-f(0,0))/t$
Derivata parziale rispetto a y:
$lim_(t->0)(f[(0,0)-t(0,1)]-f(0,0))/t$
Se trovo che il limite risulta $0$ allora posso dire che la derivata parziale rispetto a $x$ o $y$ esiste, se il limite invece risulta infinito allora la derivata parziale non esiste.
Giusto?
Grazie
Mi aggiungo anche io alla discussione perchè ho un dubbio sempre sulle derivate direzionali. Quando mi viene chiesto di verificare l'esistenza delle derivate parziali in un determinato punto (prendiamo per esempio $(0,0)$) devo utilizzare la definizione in questo modo:
Derivata parziale rispetto a x:
$lim_(t->0)(f[(0,0)-t(1,0)]-f(0,0))/t$
Derivata parziale rispetto a y:
$lim_(t->0)(f[(0,0)-t(0,1)]-f(0,0))/t$
Se trovo che il limite risulta $0$ allora posso dire che la derivata parziale rispetto a $x$ o $y$ esiste, se il limite invece risulta infinito allora la derivata parziale non esiste.
Giusto?
Grazie
si credo sia corretto
Ook perfetto grazie mille
$(x^2+y^2)sen(1/(x^2+y^2))$ se $(x,y)!=(0,0)$
Devo calcolare $(df)/(dx)$ e $(df)/(dy)$
Nella derivata rispetto ad x (ponendo $(t,0)$) ottengo:
$lim_(t->0)t^2/t^2$
Allora il limite vale $1$.. quindi esiste la derivata parziale rispetto ad x ed essa vale $0$ o $1$?
Grazie mille.. purtroppo non ho tanti esempi svolti e riuscire a combinare il tutto non è semplicissimo
Ciao!
Devo calcolare $(df)/(dx)$ e $(df)/(dy)$
Nella derivata rispetto ad x (ponendo $(t,0)$) ottengo:
$lim_(t->0)t^2/t^2$
Allora il limite vale $1$.. quindi esiste la derivata parziale rispetto ad x ed essa vale $0$ o $1$?
Grazie mille.. purtroppo non ho tanti esempi svolti e riuscire a combinare il tutto non è semplicissimo
Ciao!
se quel limite ti viene correttamente $1$ la derivata vale $1$ perché dovrebbe essere nulla?
Mi sono dimenticato la t al denominatore!
Ora esce giusta!
Grazie mille
Ora esce giusta!
Grazie mille
Ora non posso fare i conti, però riprova a farli, magari hai sbagliato. Quel limite ti permette di calcolare tutte le derivate direzionali, quindi anche quelle parziali, e se viene $1$, la derivata è $1$.
Si si ho dimenticato la t al denominatore come nell'altro post!
Ciaoo
Ciaoo
Le risposte alle prime tre domande sono tutte positive e le derivate direzionali valgono sempre zero!
Per cui per dire se è differenziabile invece di fare il limite di $h,k$ ecc ecc posso dire che lo è in quanto vale:
$(\partial f) / (\partial v)\ (0,0) = \nabla f (0,0)\ (v_1,v_2) $ ?
"floppyes":
Si si ho dimenticato la t al denominatore come nell'altro post!
Ciaoo
Ciao!
Si credo che si possa giungere subito a questa conclusione senza passare al limite. Anche perchè per vedere se una funzione non è differenziabile basta che venga meno una di queste condizioni:
1) Continuità della funzione in $(x_0,y_0)$
2) Esistenza delle derivate parziali prime in $(x_0,y_0)$
3) Esistenza delle derivate in $(x_0,y_0)$ secondo tutte le direzioni
4) Linearità rispetto a $(v_x,v_y)$ della derivata in $(x_0,y_0)$ secondo tutte le direzioni
5) Continuità in $(0,0)$ della funzione ausiliaria.
Quindi credo che si possa giungere direttamente alla conclusione
Io invece sono ancora fermo sulla mia funzione.. avendo dimenticato $1/t$ adesso mi esce che la derivata rispetto ad x non esiste.. quando invece esiste ed è $0$.. non è che hai tempo di verificarlo anche tu?
Grazie
Si credo che si possa giungere subito a questa conclusione senza passare al limite. Anche perchè per vedere se una funzione non è differenziabile basta che venga meno una di queste condizioni:
1) Continuità della funzione in $(x_0,y_0)$
2) Esistenza delle derivate parziali prime in $(x_0,y_0)$
3) Esistenza delle derivate in $(x_0,y_0)$ secondo tutte le direzioni
4) Linearità rispetto a $(v_x,v_y)$ della derivata in $(x_0,y_0)$ secondo tutte le direzioni
5) Continuità in $(0,0)$ della funzione ausiliaria.
Quindi credo che si possa giungere direttamente alla conclusione
Io invece sono ancora fermo sulla mia funzione.. avendo dimenticato $1/t$ adesso mi esce che la derivata rispetto ad x non esiste.. quando invece esiste ed è $0$.. non è che hai tempo di verificarlo anche tu?
Grazie
risolto?
No niente da fare!
Eppure $(x^2+y^2)sen(1/(x^2+y^2))$
Controllo la derivata $d/(dx)$ quindi $(t,0)$
Risulta
$lim_(t->0)t^2/t^3$ utilizzando Taylor sul seno.. quindi ottengo $1/t$ e allora la derivata parziale non esiste.. invece dal risultato la derivata esiste e fa zero!
Grazie
Ciao!
Eppure $(x^2+y^2)sen(1/(x^2+y^2))$
Controllo la derivata $d/(dx)$ quindi $(t,0)$
Risulta
$lim_(t->0)t^2/t^3$ utilizzando Taylor sul seno.. quindi ottengo $1/t$ e allora la derivata parziale non esiste.. invece dal risultato la derivata esiste e fa zero!
Grazie
Ciao!
$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^2\sin(1/h^2)}{h}=\lim_{h\to 0}\ h\sin(1/h^2)=0$
in quanto la funzione seno è limitata. Stessa cosa per l'altra derivata parziale.
EDIT: in modo alternativo, se ponete $t=1/h$ allora vien fuori
$f_x(0,0)=\lim_{t\to\infty} \frac{\sin t^2}{t}=0$
sempre perché la funzione seno è limitata.
EDIT 2: però voi due un po' di teoria di base dei limiti e delle funzioni infinitesimi/infinite ve li dovreste riguardare, sapete? E' un consiglio da amico (e da docente di Analisi).
in quanto la funzione seno è limitata. Stessa cosa per l'altra derivata parziale.
EDIT: in modo alternativo, se ponete $t=1/h$ allora vien fuori
$f_x(0,0)=\lim_{t\to\infty} \frac{\sin t^2}{t}=0$
sempre perché la funzione seno è limitata.
EDIT 2: però voi due un po' di teoria di base dei limiti e delle funzioni infinitesimi/infinite ve li dovreste riguardare, sapete? E' un consiglio da amico (e da docente di Analisi).
Ciao!
Grazie mille! Oggi mi sa che mi riguardo bene la teoria di analisi 1
Grazie ancora
Ciaoo!
Grazie mille! Oggi mi sa che mi riguardo bene la teoria di analisi 1
Grazie ancora
Ciaoo!
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