Differenze finite
Un saluto a tutti.
Sono uno studente di ingegneria con le conoscenze matematiche arrugginite.
La formula delle differenze finite all'indietro al primo ordine è
$(dT)/(dt)(t)=(T(t)-T(t-deltat))/deltat+O(deltat)$
Fin qui ci sono.
Sto utilizzando il programma EnergyPlus per simulare il comportamento energetico degli edifici.
Nella guida in linea (si veda www.eere.energy.gov/buildings/energyplu ... erence.pdf , formula (9)) si dice che al terzo ordine la formula diviene
$(dT)/(dt)(t)=(11/6T(t)-3T(t-deltat)+3/2T(t-2deltat)-1/3T(t-3deltat))/(deltat)+O(deltat^3)$
Sapreste dimostrarla?
Grazie anticipatamente.
Cordiali saluti e buon anno
Sono uno studente di ingegneria con le conoscenze matematiche arrugginite.
La formula delle differenze finite all'indietro al primo ordine è
$(dT)/(dt)(t)=(T(t)-T(t-deltat))/deltat+O(deltat)$
Fin qui ci sono.
Sto utilizzando il programma EnergyPlus per simulare il comportamento energetico degli edifici.
Nella guida in linea (si veda www.eere.energy.gov/buildings/energyplu ... erence.pdf , formula (9)) si dice che al terzo ordine la formula diviene
$(dT)/(dt)(t)=(11/6T(t)-3T(t-deltat)+3/2T(t-2deltat)-1/3T(t-3deltat))/(deltat)+O(deltat^3)$
Sapreste dimostrarla?
Grazie anticipatamente.
Cordiali saluti e buon anno
Risposte
Ho letto su un articolo non disponibile online che si è utilizzato lo sviluppo in serie di Taylor e che al secondo ordine l'approssimazione è
$(dT)/(dt)(t)=(3/2T(t)-2T(t-deltat)+1/2T(t-2deltat))/(deltat)+O(deltat^2)$
ma non ho ancora capito i passaggi matematici che portano a questa espressione (quindi non ho capito neanche quelli per l'approssimazione del terzo ordine).
$(dT)/(dt)(t)=(3/2T(t)-2T(t-deltat)+1/2T(t-2deltat))/(deltat)+O(deltat^2)$
ma non ho ancora capito i passaggi matematici che portano a questa espressione (quindi non ho capito neanche quelli per l'approssimazione del terzo ordine).
per il secondo ordine basta
$f_(i-2)=f_i-2*Dx*f'_i+(1/2)*((2*Dx)^2)*f''_i-(1/6)*((2*Dx)^3)*f'''_i+o(Dx^4)$
dopo di che prendi lo sviluppo centrato in $i$ di ampiezza $-Dx$ lo moltiplichi
per per 4, sottrai allo sviluppo sopra e ottieni quanto voluto.
Per il terzo ordine è la stessa cosa sono che è un attimo più laborioso
tutto sto nell'isolare il termine di intresse.
$f_(i-2)=f_i-2*Dx*f'_i+(1/2)*((2*Dx)^2)*f''_i-(1/6)*((2*Dx)^3)*f'''_i+o(Dx^4)$
dopo di che prendi lo sviluppo centrato in $i$ di ampiezza $-Dx$ lo moltiplichi
per per 4, sottrai allo sviluppo sopra e ottieni quanto voluto.
Per il terzo ordine è la stessa cosa sono che è un attimo più laborioso
tutto sto nell'isolare il termine di intresse.
"Valerio_D":
per il secondo ordine basta
$f_(i-2)=f_i-2*Dx*f'_i+(1/2)*((2*Dx)^2)*f''_i-(1/6)*((2*Dx)^3)*f'''_i+o(Dx^4)$
dopo di che prendi lo sviluppo centrato in $i$ di ampiezza $-Dx$ lo moltiplichi
per per 4, sottrai allo sviluppo sopra e ottieni quanto voluto.
Per il terzo ordine è la stessa cosa sono che è un attimo più laborioso
tutto sto nell'isolare il termine di intresse.
Ti ringrazio!
Non mi torna ancora una cosa però: nelle formule che ho scritto nei messaggi precedenti O( ) andrebbe sostituita con o( )? Forse si tratta di una convenzione in vigore all'estero?
Grazie al tuo consiglio, ho fatto così:
$f_(i-2)=f_i-2*Dx*f'_i+1/2*(2*Dx)^2*f''_i+o(Dx^2)$
e
$f_(i-1)=f_i-Dx*f'_i+1/2*(Dx)^2*f''_i+o(Dx^2)$
moltiplicando membro a membro la seconda equazione per 4 e sottraendola alla prima:
$f_(i-2)-4f_(i-1)=f_i-2*Dx*f'_i+2*(Dx)^2*f''_i-4f_i+4*Dx*f'_i-2*(Dx)^2*f''_i+o(Dx^2)$
$f_(i-2)-4f_(i-1)=2*Dx*f'_i-3f_i+o(Dx^2)$
$f'_i=(3/2f_i-2f_(i-1)+1/2f_(i-2))/(Dx)+o(Dx^2)$
Rispetto a quello che avevo scritto ieri c'è $o(Dx^2)$ invece di $O(Dx^2)$.
Cordiali saluti
Figurati di niente!
Ho notato pure io questo particolare tuttavia nei testi relativi
ai metodi numerici si fa riferimento a "ciò che avanza dello sviluppo
di Taylor" come discretizzazion error....intrepretando il tutto nel senso
dell'analisi non trovato mai incongruenze e/o problemi vari!
Ho notato pure io questo particolare tuttavia nei testi relativi
ai metodi numerici si fa riferimento a "ciò che avanza dello sviluppo
di Taylor" come discretizzazion error....intrepretando il tutto nel senso
dell'analisi non trovato mai incongruenze e/o problemi vari!
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