Differenza tra Olomorfismo e Analiticità di una funzione

[Sam881]

Salve,
qualcuno può chiarirmi la differenza tra funzione analitica e olomorfa?
grazie in anticipo

[ayeyye]

nessuna, si può dimosrare che l'una implica l'altra e viceversa. per dare l'idea se una funzione in var. complessa è derivabile allora lo è infinite volte, quindi ammette sviluppo di laurent in una corona circolare compresa in tale regione, che si calcola per mezzo delle derivate.

[Eredir]

Una funzione $f$ si dice analitica in un aperto $U$ se per ogni $x_0 \in U$ è esprimibile con una serie di potenze convergente, ovvero $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$. Si tratta di un concetto che ha senso tanto in $\RR$ quanto in $\CC$.
Invece diciamo che una funzione $f$ è olomorfa in un aperto $U$ se per ogni $z_0 \in U$ è differenziabile in senso complesso in $z_0$, ovvero esiste $\lim_{z->z_0} {f(z)-f(z_0)}/{z-z_0}$. Si dimostra che in campo complesso l'analiticità di una funzione ne implica l'olomorfia e viceversa.
Questo è in contrasto con il caso del campo reale, in cui l'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili $C^{\infty}$ non coincide con l'insieme delle funzioni analitiche $C^{\omega}$.