Differenza tra integrale di Riemman e Lebesgue

[antennaboy]

Caro Forum,

non ho le idee ben chiare riguardo all differenza tra i due integrali di Riemann e Lebesque......

Quello di Riemman sembra piu' intuitivo: si suddivide il dominio della funzione in differenziali dx, mentre in quello di Lebesgue si suddivide il codominio......
Che vantaggio c'e'? Che problemi si evitano con quello di Lebesgue? so che ha a che fare con la teoria della misura......


C'e' poi l'integrale di Riemann-Stieltjes.... come e' diverso da quello di Riemann?
grazie,
antennaboy

[NightKnight1]

Per funzioni Riemann-integrabili l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue coincidono.
Solo che esistono funzioni non Riemann-integrabili ma Lebesgue-integrabili:
ad esempio la funzione caratteristica di ogni insieme numerabile limitato, come ad esempio $QQ cap [0,1]$...

Attenzione: La coincidenza tra i due integrali vale su insiemi del tipo $[a,b]$, ma non sulle semirette: ad esempio esistono funzioni integrabili in senso generalizzato (improprio) su $[0,+ infty)$ ma non integrabili secondo Lebesgue:
per esempio $F(x) = sin(x)/x$