Differenza tra funzione crescente e a derivata positiva
Salve a tutti,
Sto preparando un esame di analisi reale e tra gli esercizi proposti dal professore c'è n'è uno in cui è richiesto di costruire una funzione $f:[0,1]->R$ che abbia le seguenti 3 proprietà
1) $f(x)$ strettamente crescente
2) $|f(x)-f(y)|\le|x-y|$
3) \( \mathcal{L}^1\big(\{ x\in[0,1] \text{ t.c. } f'(x)=0\}\big)\ge\delta\) con $0\le\delta<1$
Abituata a utilizzare la derivata per determinare se una funzione sia crescente o meno, mi riesce difficile immaginare una funzione strettamente crescente con la proprietà 3). Vorrei che mi aiutaste a capire come queste proprietà possano coesistere.
Sto preparando un esame di analisi reale e tra gli esercizi proposti dal professore c'è n'è uno in cui è richiesto di costruire una funzione $f:[0,1]->R$ che abbia le seguenti 3 proprietà
1) $f(x)$ strettamente crescente
2) $|f(x)-f(y)|\le|x-y|$
3) \( \mathcal{L}^1\big(\{ x\in[0,1] \text{ t.c. } f'(x)=0\}\big)\ge\delta\) con $0\le\delta<1$
Abituata a utilizzare la derivata per determinare se una funzione sia crescente o meno, mi riesce difficile immaginare una funzione strettamente crescente con la proprietà 3). Vorrei che mi aiutaste a capire come queste proprietà possano coesistere.
Risposte
"Benihime":
3) $ L^1{x\in[0,1] \text{ t.c. } f'(x)=0\ge\delta $ con $ 0\le\delta<1 $
Uhm non mi è chiaro che cosa chieda la terza condizione. Se non ho capito male l'insieme degli $x\in[0,1]$ tale che $f'(x)=0$ deve avere misura di Lebesgue maggiore o uguale a $\delta$ con $0\leq delta<1$? Se è così basta prendere $\delta=0$ e $f(x)=x$.
Si, la condizione 3) vuol dire proprio quello, ma l'esercizio non richiede di fissare $\delta$, ma di svolgere l'esercizio per $\delta$ Generico
Ho corretto la 3, che risultava incomprensibile.
La costruzione è abbastanza semplice.
Comincia a usare il procedimento di eliminazione della "terza parte centrale" dall'intervallo $[0,1]$ ed iteralo (come quando vuoi costruire l'insieme di Cantor); quando l'insieme eliminato $E$ ha ampiezza $>\delta$ fermati.
Poni $f(x)$ costante sui tratti di cui è composto $E$ e dici che $f$ è affine sui tratti di cui è composto $[0,1]\setminus E$.
Se scegli bene l'intervallo immagine di $f$ (la cui ampiezza dipenderà dal numero di iterazioni del procedimento, ossia da $\delta$) puoi fare in modo che i coefficienti angolari dei tratti obliqui del grafico di $f$ si possano scegliere nell'intervallo $[0,1]$.
In tal modo hai certamente una funzione di Lipschitz con costante $\leq 1$.
Prova.
La costruzione è abbastanza semplice.
Comincia a usare il procedimento di eliminazione della "terza parte centrale" dall'intervallo $[0,1]$ ed iteralo (come quando vuoi costruire l'insieme di Cantor); quando l'insieme eliminato $E$ ha ampiezza $>\delta$ fermati.
Poni $f(x)$ costante sui tratti di cui è composto $E$ e dici che $f$ è affine sui tratti di cui è composto $[0,1]\setminus E$.
Se scegli bene l'intervallo immagine di $f$ (la cui ampiezza dipenderà dal numero di iterazioni del procedimento, ossia da $\delta$) puoi fare in modo che i coefficienti angolari dei tratti obliqui del grafico di $f$ si possano scegliere nell'intervallo $[0,1]$.
In tal modo hai certamente una funzione di Lipschitz con costante $\leq 1$.
Prova.
Si, avevo pensato a una cosa del genere, ma mi sfugge come una funzione di questo tipo possa essere STRETTAMENTE. Crescente, visto che su dei piccoli intervalli risulta pur sempre costante
(Ti ringrazio per aver corretto il mio messaggio)
(Ti ringrazio per aver corretto il mio messaggio)
Semplicemente non avevo letto bene la 1 e credevo bastasse "crescente"! 
Ah ok dai tranquillo 
Però c'è qualcosa che non mi torna...
Se $f$ è Lipschitz, allora è assolutamente continua e perciò è dervabile q.o. in $[0,1]$ e la derivata \(f^\prime\) è in $L^1(0,1)$. Ora, se vuoi che la misura dell'insieme degli zeri di $f^\prime$ sia positiva, tale insieme deve contenere almeno un intervallo (perché deve avere misura interna positiva) e dunque $f$ deve essere costante su tale intervallo e la stretta monotònia si va a far benedire... O no?
Se $f$ è Lipschitz, allora è assolutamente continua e perciò è dervabile q.o. in $[0,1]$ e la derivata \(f^\prime\) è in $L^1(0,1)$. Ora, se vuoi che la misura dell'insieme degli zeri di $f^\prime$ sia positiva, tale insieme deve contenere almeno un intervallo (perché deve avere misura interna positiva) e dunque $f$ deve essere costante su tale intervallo e la stretta monotònia si va a far benedire... O no?
Proprio perché, come osserva gugo, la funzione è Lipschitziana (quindi AC), partirei dalla costruzione della sua derivata.
Se \(\{q_n\}_{n\geq 1}\) è una enumerazione dei razionali di \([0,1]\), fissato \(\epsilon\in (0, 1-\delta)\) possiamo considerare l'insieme
\[
E := \bigcup_{n\geq 1} (q_n - \epsilon\, 2^{-n-1}, q_n + \epsilon\, 2^{-n-1})
\]
e definire la funzione
\[
g(x) = \begin{cases}
1, &\text{se}\ x\in [0,1]\cap E,\\
0, &\text{altrimenti in}\ [0,1].
\end{cases}
\]
La funzione \(f(x) := \int_0^x g(t)\, dt\) mi sembra soddisfi tutte le proprietà richieste.
Se \(\{q_n\}_{n\geq 1}\) è una enumerazione dei razionali di \([0,1]\), fissato \(\epsilon\in (0, 1-\delta)\) possiamo considerare l'insieme
\[
E := \bigcup_{n\geq 1} (q_n - \epsilon\, 2^{-n-1}, q_n + \epsilon\, 2^{-n-1})
\]
e definire la funzione
\[
g(x) = \begin{cases}
1, &\text{se}\ x\in [0,1]\cap E,\\
0, &\text{altrimenti in}\ [0,1].
\end{cases}
\]
La funzione \(f(x) := \int_0^x g(t)\, dt\) mi sembra soddisfi tutte le proprietà richieste.
La costruzione mi è chiara ma continua a sfuggirmi come possa essere strettamente crescente....
A me sembra che [0,1]/E sia costituito comunque da intervallini anche se molto piccoli, come può essere crescente su questi intervallini?
A me sembra che [0,1]/E sia costituito comunque da intervallini anche se molto piccoli, come può essere crescente su questi intervallini?
L'insieme \(F := [0,1]\setminus E\) non può contenere alcun intervallo.
Prendi \(x,y\in F\), con \(x < y\). Detto \(q\in (x,y)\) un qualsiasi razionale fra \(x\) e \(y\), per definizione \(E\) contiene un intervallo \(I\) centrato in \(q\), quindi \(I\cap F = \emptyset\). In particolare, \((x,y) \not\subset F\).
Prendi \(x,y\in F\), con \(x < y\). Detto \(q\in (x,y)\) un qualsiasi razionale fra \(x\) e \(y\), per definizione \(E\) contiene un intervallo \(I\) centrato in \(q\), quindi \(I\cap F = \emptyset\). In particolare, \((x,y) \not\subset F\).
Ok, ci ho pensato e credo di non avere altri dubbi, grazie mille!
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