Differenza tra esistenza e Calcolo Derivata.
Per poter dire che esiste la derivata di $f$ in un determinato punto $x_0$ dobbiamo verificare che il limite del rapporto incrementale esiste finito;
cioè a dire : $lim_(h->0) [f(x_0+h)-f(x_0)]/(h)$ tale valore sarà la derivata della funzione $f$ nel punto $x_0$
Ma allora Verificare L'esistenza e Calcolare il valore della derivata è la stessa cosa ???
grazie per i chiarimenti!
cioè a dire : $lim_(h->0) [f(x_0+h)-f(x_0)]/(h)$ tale valore sarà la derivata della funzione $f$ nel punto $x_0$
Ma allora Verificare L'esistenza e Calcolare il valore della derivata è la stessa cosa ???
grazie per i chiarimenti!
Risposte
Se quel limite esiste ed è finito, allora il suo valore si chiama derivata di $f$ nel punto $x_0$.
Questo significa che perché la $f$ sia derivabile in $x_0$ ti basta sapere che il limite che hai riportato ESISTE ed è finito (non è necessario sapere qual'è il suo valore, anche se alla fin fine è quello che si fa per stabilire se la funzione è derivabile).
Mi viene in mente un esempio più lampante della questione. L'affermazione (1): "trovare lo zero della funzione $f(x)$" è ben diversa dall'affermazione (2): "verificare l'esistenza dello zero di $f(x)$".
Più la funzione è semplice (p.es. polinomiale di primo grado) più è conveniente considerare l'affermazione (1), cioè trovare materialmente il valore dello zero, per verificare l'esistenza dello stesso. Immagina ora di avere una funzione complessa, con logaritmi e funzioni trigonometriche... Ovviamente per verificare l'esistenza dello zero, se la funzione è continua, puoi avvalerti del teorema degli zeri (th. di connessione). Determinare il punto in cui $f(x)$ si annulla è un altro paio di maniche.
Per la derivabilità non mi vengono in mente esempi in cui il calcolo del limite del rapporto incrementale è di una complessità tale da dover ricorrere (per convenienza) a teoremi o proposizioni che ti garantiscono l'esistenza e/o la finitudine del limite stesso. Il metodo che spesso si rivela essere il più semplice per scoprire se una funzione è derivabile in un punto $x_0$ è calcolare il valore della derivata.
Questo significa che perché la $f$ sia derivabile in $x_0$ ti basta sapere che il limite che hai riportato ESISTE ed è finito (non è necessario sapere qual'è il suo valore, anche se alla fin fine è quello che si fa per stabilire se la funzione è derivabile).
Mi viene in mente un esempio più lampante della questione. L'affermazione (1): "trovare lo zero della funzione $f(x)$" è ben diversa dall'affermazione (2): "verificare l'esistenza dello zero di $f(x)$".
Più la funzione è semplice (p.es. polinomiale di primo grado) più è conveniente considerare l'affermazione (1), cioè trovare materialmente il valore dello zero, per verificare l'esistenza dello stesso. Immagina ora di avere una funzione complessa, con logaritmi e funzioni trigonometriche... Ovviamente per verificare l'esistenza dello zero, se la funzione è continua, puoi avvalerti del teorema degli zeri (th. di connessione). Determinare il punto in cui $f(x)$ si annulla è un altro paio di maniche.
Per la derivabilità non mi vengono in mente esempi in cui il calcolo del limite del rapporto incrementale è di una complessità tale da dover ricorrere (per convenienza) a teoremi o proposizioni che ti garantiscono l'esistenza e/o la finitudine del limite stesso. Il metodo che spesso si rivela essere il più semplice per scoprire se una funzione è derivabile in un punto $x_0$ è calcolare il valore della derivata.
"Seneca":
Per la derivabilità non mi vengono in mente esempi in cui il calcolo del limite del rapporto incrementale è di una complessità tale da dover ricorrere (per convenienza) a teoremi o proposizioni che ti garantiscono l'esistenza e/o la finitudine del limite stesso. Il metodo che spesso si rivela essere il più semplice per scoprire se una funzione è derivabile in un punto $x_0$ è calcolare il valore della derivata.
Chiarissimo Seneca
.Se ti posso portare "l'esempio" che mi ha portato ad aprire il topic, che può sembrar sciocco, ma che secondo me non lo è;
E' quello che ho letto nello studiare la derivata della funzione composta $gof$.
il testo dice la seguente.
"More solito, per acquisire la tesi occorre prima provare l'esistenza della derivata in $x_0$e poi calcolarla".
Definiamo i seguenti insiemi
$X={x,x in (a,b),f(x)=f(x_0)}, Y={x,x in (a,b),f(x)!=f(x_0)}$,
Ed osserviamo che possono verificarsi solo i seguenti tre casi:
caso1:$X_0 in DY,x_0 notin DX;$ caso2: $x_0 in DY nn DX ;$ caso3 $x_0 in DX, x_0 notin DY$.
e poi continua la spiegazione....
premetto che questo testo non è adatto per ingegneria, o meglio è troppo complicato; è rivolto per chi già è preparato alla grande...
lascio a te considerazioni sicuramente molto più chiare delle mie
"mat100":
[quote="Seneca"]
Per la derivabilità non mi vengono in mente esempi in cui il calcolo del limite del rapporto incrementale è di una complessità tale da dover ricorrere (per convenienza) a teoremi o proposizioni che ti garantiscono l'esistenza e/o la finitudine del limite stesso. Il metodo che spesso si rivela essere il più semplice per scoprire se una funzione è derivabile in un punto $x_0$ è calcolare il valore della derivata.
Chiarissimo Seneca
.Se ti posso portare "l'esempio" che mi ha portato ad aprire il topic, che può sembrar sciocco, ma che secondo me non lo è;
E' quello che ho letto nello studiare la derivata della funzione composta $gof$.
il testo dice la seguente.
"More solito, per acquisire la tesi occorre prima provare l'esistenza della derivata in $x_0$e poi calcolarla".
Definiamo i seguenti insiemi
$X={x,x in (a,b),f(x)=f(x_0)}, Y={x,x in (a,b),f(x)!=f(x_0)}$,
Ed osserviamo che possono verificarsi solo i seguenti tre casi:
caso1:$X_0 in DY,x_0 notin DX;$ caso2: $x_0 in DY nn DX ;$ caso3 $x_0 in DX, x_0 notin DY$.
e poi continua la spiegazione....
premetto che questo testo non è adatto per ingegneria, o meglio è troppo complicato; è rivolto per chi già è preparato alla grande...
lascio a te considerazioni sicuramente molto più chiare delle mie
[/quote]Hai definito $X$ e $Y$, d'accordo. $DX$ e $DY$ cosa sono?
"Seneca":
Hai definito $X$ e $Y$, d'accordo. $DX$ e $DY$ cosa sono?
Dominio dell'insieme $X$ e $Y$ rispettivamente no ?
ho detto na cavolata ?.... 
Io penso che la questione sia questa:
Supponiamo di considerare la seguente funzione: $f(x)=|x|$ definita in tutto $R$.
Ora io ti chiedo: Calcolami la derivata di questa funzione nel punto $x=0$.
Bè non puoi farlo.
Infatti in $x=0$, la derivata non esiste, poichè $f'(x)=(|x|)/x$ che vale $AAx in R-{0}$, cioè il limite del rapporto incrementale (puoi verificarlo velocemente) non esiste.
Quindi io penso che quando si dice:
Supponiamo di considerare la seguente funzione: $f(x)=|x|$ definita in tutto $R$.
Ora io ti chiedo: Calcolami la derivata di questa funzione nel punto $x=0$.
Bè non puoi farlo.
Infatti in $x=0$, la derivata non esiste, poichè $f'(x)=(|x|)/x$ che vale $AAx in R-{0}$, cioè il limite del rapporto incrementale (puoi verificarlo velocemente) non esiste.
Quindi io penso che quando si dice:
per acquisire la tesi occorre prima provare l'esistenza della derivata in $x_0$ e poi calcolarla".si intenda proprio questo.
"Mathcrazy":
Io penso che la questione sia questa:
Supponiamo di considerare la seguente funzione: $f(x)=|x|$ definita in tutto $R$.
Ora io ti chiedo: Calcolami la derivata di questa funzione nel punto $x=0$.
Bè non puoi farlo.
Infatti in $x=0$, la derivata non esiste, poichè $f'(x)=(|x|)/x$ che vale $AAx in R-{0}$, cioè il limite del rapporto incrementale (puoi verificarlo velocemente) non esiste.
Quindi io penso che quando si dice:
per acquisire la tesi occorre prima provare l'esistenza della derivata in $x_0$ e poi calcolarla".si intenda proprio questo.
capito... mi sa che è così!
e per quanto riguarda il post precedente $DX$ $DY$ ??
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