Differenza tra derivata destra e limite destro della...
Salve ragazzi. Siccome ho un dubbio vorrei sapere qual è la differenza tra la derivata destra in un punto e il limite destro della derivata nel punto...perchè generalmente sono diverse?
Risposte
Ciao,
penso tu stia parlando di funzioni reali di variabile reale, perciò le due cose sono diverse in generale perché non è detto che la derivata di una funzione contiuna e derivabile in tutti i punti di un intervallo $[a;b]$ sia una funzione continua. Ad esempio in $[0;1]$
$f(x)={(x^(1+ alpha)sin(1/x) x !=0),(0 x=0):}$
con $alpha >0$
è continua e risulta derivabile in tutto $[0;1]$
infatti si ha:
$f'(x)=(1+alpha )x^alpha sin(1/x) - x^(-1+alpha) cos(1/x)$ per $x != 0$
mentre $lim_(h ->0)(f(x)-f(0))/h=lim_(h ->0)h^alpha sin(1/h)=0$
cosicchè se $alpha > 1$ non esiste il limite per $x rarr 0^+$ di $(1+alpha )x^alpha sin(1/x) - x^(-1+alpha) cos(1/x)$
ma la derivata in $0$ vale $0$
penso tu stia parlando di funzioni reali di variabile reale, perciò le due cose sono diverse in generale perché non è detto che la derivata di una funzione contiuna e derivabile in tutti i punti di un intervallo $[a;b]$ sia una funzione continua. Ad esempio in $[0;1]$
$f(x)={(x^(1+ alpha)sin(1/x) x !=0),(0 x=0):}$
con $alpha >0$
è continua e risulta derivabile in tutto $[0;1]$
infatti si ha:
$f'(x)=(1+alpha )x^alpha sin(1/x) - x^(-1+alpha) cos(1/x)$ per $x != 0$
mentre $lim_(h ->0)(f(x)-f(0))/h=lim_(h ->0)h^alpha sin(1/h)=0$
cosicchè se $alpha > 1$ non esiste il limite per $x rarr 0^+$ di $(1+alpha )x^alpha sin(1/x) - x^(-1+alpha) cos(1/x)$
ma la derivata in $0$ vale $0$
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