Differenza tra curva e superficie
Salve a tutti del forum, vi chiedo cortesemente qual è la differenza matematica tra il concetto di curva e quello di superficie, come fare per distinguerle ad esempio nelle tracce d'esame; le spiegazioni che ho trovato in rete non erano molto chiare purtroppo.
ringrazio anticipatamente quanti vorranno aiutarmi.
ringrazio anticipatamente quanti vorranno aiutarmi.
Risposte
Una curva è monodimensionale mentre una superficie è bidimensionale. Che differenza c'è tra una retta e un piano? Forse se scrivi un esempio di ciò che ti confonde possiamo aiutarti a capire.
"vict85":
Una curva è monodimensionale mentre una superficie è bidimensionale. Che differenza c'è tra una retta e un piano? Forse se scrivi un esempio di ciò che ti confonde possiamo aiutarti a capire.
Ciao! ti ringrazio per avermi risposto; mi confondono le equazioni della superficie e della curva, ad esempio una curva in R[*]3 può avere le stesse equazioni di una superficie; poi consideriamo ad esempio una sfera, ottenibile con una curva che ruota attorno ad un asse, ha le stesse equazioni di una superficie o sbaglio? a che mi servirebbero le superfici in questo caso se (quasi) tutte le superfici si possono ottenere dalle curve?
Una curva se la ruoti nello spazio descrive una superficie.
Basta che prendi le tue x e y e le moltiplichi per cos (¥) e sin(¥)
Basta che prendi le tue x e y e le moltiplichi per cos (¥) e sin(¥)
"AntoS":
ad esempio una curva in R3 può avere le stesse equazioni di una superficie [...]
Questo non è vero.
Quali sono le definizioni di curva parametrizzata e di superficie parametrizzata in $RR^3$?
"AntoS":
consideriamo ad esempio una sfera, ottenibile con una curva che ruota attorno ad un asse, ha le stesse equazioni di una superficie o sbaglio?
Certo... E non c'è nulla di sorprendente, perché la sfera è una superficie.
"AntoS":
a che mi servirebbero le superfici in questo caso se (quasi) tutte le superfici si possono ottenere dalle curve?
Beh, dalla definizione di superficie segue che ogni superficie parametrizzata è unione di curve parametrizzate (perché? Guarda la definizione di superficie parametrizzata per rispondere)... E ciò non sorprende, perché è un fatto geometricamente evidente e la definizione matematica di superficie deve rispecchiare questa evidenza.
Non è detto, però, che tutte le superfici parametrizzate si ottengano in modo semplice (cioè mediante trasformazioni geometriche elementari) da curve: se lo credi, vuol dire che il tuo immaginario geometrico è ancora povero e devi allenarti un po' per rimpolparlo.
Aggiungo solo a gugo82 che non tutte le superfici hanno parametrizzazioni globali, ma forse questo aspetto lo vedrai meglio nei corsi di geometria.
@vict85: Difatti ho scritto “superfici parametrizzate” e non “superfici”... 
"gugo82":
[quote="AntoS"]ad esempio una curva in R3 può avere le stesse equazioni di una superficie [...]
Questo non è vero.
Quali sono le definizioni di curva parametrizzata e di superficie parametrizzata in $ RR^3 $?
"AntoS":
consideriamo ad esempio una sfera, ottenibile con una curva che ruota attorno ad un asse, ha le stesse equazioni di una superficie o sbaglio?
Certo... E non c'è nulla di sorprendente, perché la sfera è una superficie.
"AntoS":
a che mi servirebbero le superfici in questo caso se (quasi) tutte le superfici si possono ottenere dalle curve?
Beh, dalla definizione di superficie segue che ogni superficie parametrizzata è unione di curve parametrizzate (perché? Guarda la definizione di superficie parametrizzata per rispondere)... E ciò non sorprende, perché è un fatto geometricamente evidente e la definizione matematica di superficie deve rispecchiare questa evidenza.
Non è detto, però, che tutte le superfici parametrizzate si ottengano in modo semplice (cioè mediante trasformazioni geometriche elementari) da curve: se lo credi, vuol dire che il tuo immaginario geometrico è ancora povero e devi allenarti un po' per rimpolparlo.[/quote]
Grazie ancora per il tuo aiuto
ricontrollando le definizioni di entrambi i concetti, sono giunto alla conclusione che la curva e la superficie (parametrizzate) differiscono tra loro per l'insieme di partenza: il primo è R, mentre nella superficie è almeno in $RR^2$, è corretto? ovviamente l'insieme di arrivo per entrambi è $RR^(n+1)$ A questo mi sembra di averti risposto sopra
Comunque sicuramente dovrò allenarmi un pò 
però ho detto quasi tutte, ovviamente ce ne sono altre che non lo sono.
Perché il +1?
Entrambi i domini delle parametrizzazioni sono insiemi connessi, per le curve contenuti in $RR$ (e perciò intervalli), per le superfici contenuti in $RR^2$. Quello che non mi spiego è perché $RR^(n+1)$ come insieme d’arrivo.
Ad ogni buon conto, dunque, perché una curva ed una superficie non possono avere le stesse equazioni?
(Ma, poi, di quali equazioni parliamo? Parametriche? Cartesiane? Non si capisce mica...)
Al “quesito” non hai risposto per nulla.
Per rispondere alla domanda serve un po’ di rielaborazione autonoma da parte tua.
Ad ogni buon conto, dunque, perché una curva ed una superficie non possono avere le stesse equazioni?
(Ma, poi, di quali equazioni parliamo? Parametriche? Cartesiane? Non si capisce mica...)
Al “quesito” non hai risposto per nulla.
Per rispondere alla domanda serve un po’ di rielaborazione autonoma da parte tua.
"gugo82":
Entrambi i domini delle parametrizzazioni sono insiemi connessi, per le curve contenuti in $RR$ (e perciò intervalli), per le superfici contenuti in $RR^2$. Quello che non mi spiego è perché $RR^(n+1)$ come insieme d’arrivo.
Ad ogni buon conto, dunque, perché una curva ed una superficie non possono avere le stesse equazioni?
(Ma, poi, di quali equazioni parliamo? Parametriche? Cartesiane? Non si capisce mica...)
Al “quesito” non hai risposto per nulla.
Per rispondere alla domanda serve un po’ di rielaborazione autonoma da parte tua.
la parametrizzazione della superficie la denoto come $mathbf(r) : D subseteq RR^2 -> S subseteq RR^3$ (ovviamente gli insiemi sono connessi) per cui intuisco che le superficie siano una sorta di evoluzione delle curve.
Una curva ed una superficie non possono avere le stesse equazioni perchè la prima potrebbe andare contro la definizione di funzione, ciò accade ad esempio nella sfera; parliamo di equazioni parametriche;
per quanto riguarda il $RR^(n+1)$ ho sbagliato perché tale insieme compare nel concetto di grafico di funzione.
Che una curva sia una funzione definita in un sottoinsieme di $RR^2$ lo vedo difficile...
Inoltre, puoi “intuire” quel che vuoi, ma se non lo sai spiegare è un problema: significa che non hai capito a fondo la questione.
Inoltre, puoi “intuire” quel che vuoi, ma se non lo sai spiegare è un problema: significa che non hai capito a fondo la questione.
"gugo82":
Che una curva sia una funzione definita in un sottoinsieme di $RR^2$ lo vedo difficile...
Inoltre, puoi “intuire” quel che vuoi, ma se non lo sai spiegare è un problema: significa che non hai capito a fondo la questione.
ho sbagliato nello scrivere curva, infatti dopo ho scritto superficie,mi riferivo a quest'ultima;
tu come la spiegheresti?
Diamo un paio di definizioni:
Poi, ovviamente, c'è il discorso della regolarità che non vale la pena approfondire ora perché non c’entra con l’argomento di cui stiamo parlando.
Confrontando le due equazioni vettoriali o parametriche si vede subito che c'è una grossa differenza tra le equazioni di una curva e di una superficie: infatti, le equazioni di una curva dipendono da un solo parametro, mentre quelle di una superficie dipendono da due parametri.
Inoltre, che una superficie si possa vedere come unione di curve dipende proprio dal fatto che essa è descritta da due parametri.
Infatti, supponiamo che $D$ sia aperto e connesso, le sue proiezioni sugli assi sono aperte e connesse, ossia sono degli intervalli aperti; per semplicità, supponiamo pure che, fissato $v$ nella proiezione $D_2$ di $D$ sull’asse ($v$), l’insieme $I_(v) := \{ u in RR: (u,v) in D\}$ sia un intervallo aperto (se non lo è, credo si possa replicare il discorso ragionando localmente).
In tali ipotesi risulta $D=uu_(v in D_2) I_v$.
Allora, la funzione $mathbf(x)_v(t) := mathbf(r)(t,v) $ definita per $t in I_v$ è una curva con sostegno $Gamma_v subseteq S$ e si ha $S = uu_(v in D_2) Gamma_v$ come si può facilmente dimostrare.
Si chiama curva parametrizzata di $RR^3$ ogni funzione continua $mathbf(x): RR supseteq I -> RR^3$ (in cui $I$ è un intervallo non degenere).
L’immagine $Gamma := mathbf(x)(I)$ è detta sostegno della curva, l’applicazone $mathbf(x)$ è chiamata parametrizzazione di $Gamma$ ed $I$ intervallo base della parametrizzazione.
Le scritture:
\[
\begin{split}
\Gamma &:\ \mathbf{x} = \mathbf{x} (t),\quad t \in I \\
\Gamma &:\ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases},\quad t \in I
\end{split}
\]
si chiamano, rispettivamente, equazione parametrica vettoriale ed equazioni parametriche scalari della curva $mathbf(x)$ (o anche di $Gamma$, con abuso di linguaggio).
Si chiama superficie parametrizzata di $RR^3$ ogni funzione continua $mathbf(r) : RR^2 supseteq D -> RR^3$ (in cui $D$ è un aperto connesso).
L’immagine $S := mathbf(r)(D)$ è detta sostegno della superficie, $mathbf(r)$ è detta parametrizzazione di $S$ e $D$ dominio base della parametrizzazione.
Le scritture:
\[
\begin{split}
S &:\ \mathbf{x} = \mathbf{r} (u,v) ,\ \quad (u,v) \in D \\
S &:\ \begin{cases} x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \\ z = z(u,v) \end{cases},\quad (u,v) \in D
\end{split}
\]
si chiamano, rispettivamente, equazione parametrica vettoriale ed equazioni parametriche scalari della superficie $mathbf(r)$ (o anche di $S$, con abuso di linguaggio).
Poi, ovviamente, c'è il discorso della regolarità che non vale la pena approfondire ora perché non c’entra con l’argomento di cui stiamo parlando.
Confrontando le due equazioni vettoriali o parametriche si vede subito che c'è una grossa differenza tra le equazioni di una curva e di una superficie: infatti, le equazioni di una curva dipendono da un solo parametro, mentre quelle di una superficie dipendono da due parametri.
Inoltre, che una superficie si possa vedere come unione di curve dipende proprio dal fatto che essa è descritta da due parametri.
Infatti, supponiamo che $D$ sia aperto e connesso, le sue proiezioni sugli assi sono aperte e connesse, ossia sono degli intervalli aperti; per semplicità, supponiamo pure che, fissato $v$ nella proiezione $D_2$ di $D$ sull’asse ($v$), l’insieme $I_(v) := \{ u in RR: (u,v) in D\}$ sia un intervallo aperto (se non lo è, credo si possa replicare il discorso ragionando localmente).
In tali ipotesi risulta $D=uu_(v in D_2) I_v$.
Allora, la funzione $mathbf(x)_v(t) := mathbf(r)(t,v) $ definita per $t in I_v$ è una curva con sostegno $Gamma_v subseteq S$ e si ha $S = uu_(v in D_2) Gamma_v$ come si può facilmente dimostrare.
Se consideri un aperto \(D\) qualsiasi, non puoi dire che \(I_v\) sia un intervallo aperto. D'altra parte è l'unione di intervalli aperti. Ma si può arrivare a quella situazione limitandoci a \(D\) convessi (la convessità è sufficiente ma non necessaria). Per le superfici parametriche che si incontrano di solito non mi sembra una limitazione eccessiva.
"gugo82":
Diamo un paio di definizioni:
Si chiama curva parametrizzata di $RR^3$ ogni funzione continua $mathbf(x): RR supseteq I -> RR^3$ (in cui $I$ è un intervallo non degenere).
L’immagine $Gamma := mathbf(x)(I)$ è detta sostegno della curva, l’applicazone $mathbf(x)$ è chiamata parametrizzazione di $Gamma$ ed $I$ intervallo base della parametrizzazione.
Le scritture:
\[
\begin{split}
\Gamma &:\ \mathbf{x} = \mathbf{x} (t),\quad t \in I \\
\Gamma &:\ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases},\quad t \in I
\end{split}
\]
si chiamano, rispettivamente, equazione parametrica vettoriale ed equazioni parametriche scalari della curva $mathbf(x)$ (o anche di $Gamma$, con abuso di linguaggio).
Si chiama superficie parametrizzata di $RR^3$ ogni funzione continua $mathbf(r) : RR^2 supseteq D -> RR^3$ (in cui $D$ è un aperto connesso).
L’immagine $S := mathbf(r)(D)$ è detta sostegno della superficie, $mathbf(r)$ è detta parametrizzazione di $S$ e $D$ dominio base della parametrizzazione.
Le scritture:
\[
\begin{split}
S &:\ \mathbf{x} = \mathbf{r} (u,v) ,\ \quad (u,v) \in D \\
S &:\ \begin{cases} x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \\ z = z(u,v) \end{cases},\quad (u,v) \in D
\end{split}
\]
si chiamano, rispettivamente, equazione parametrica vettoriale ed equazioni parametriche scalari della superficie $mathbf(r)$ (o anche di $S$, con abuso di linguaggio).
Poi, ovviamente, c'è il discorso della regolarità che non vale la pena approfondire ora perché non c’entra con l’argomento di cui stiamo parlando.
Confrontando le due equazioni vettoriali o parametriche si vede subito che c'è una grossa differenza tra le equazioni di una curva e di una superficie: infatti, le equazioni di una curva dipendono da un solo parametro, mentre quelle di una superficie dipendono da due parametri.
Inoltre, che una superficie si possa vedere come unione di curve dipende proprio dal fatto che essa è descritta da due parametri.
Infatti, supponiamo che $D$ sia aperto e connesso, le sue proiezioni sugli assi sono aperte e connesse, ossia sono degli intervalli aperti; per semplicità, supponiamo pure che, fissato $v$ nella proiezione $D_2$ di $D$ sull’asse ($v$), l’insieme $I_(v) := \{ u in RR: (u,v) in D\}$ sia un intervallo aperto (se non lo è, credo si possa replicare il discorso ragionando localmente).
In tali ipotesi risulta $D=uu_(v in D_2) I_v$.
Allora, la funzione $mathbf(x)_v(t) := mathbf(r)(t,v) $ definita per $t in I_v$ è una curva con sostegno $Gamma_v subseteq S$ e si ha $S = uu_(v in D_2) Gamma_v$ come si può facilmente dimostrare.
ti ringrazio per la risposta, sei stato molto gentile. Ora mi è più chiaro
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