Differenza tra area e formula di coarea?
qualcuno saprebbe indicarmi per favore la differenza tra area e la formula di coarea?
dove area è data da: $ H^n(f(A))=int_AJ(D(f(x))dx $ dove $ J(D(f(x))):=root()(detDf^T(x)*Df(x) $ + lo jacobiano di f
e la formula della coarea: $ int_Ag(x)|Df(x)|dx=int_-oo^(+oo)(int_(Annf^-1(t))g(z)dH^(n-1)(z))dt $
a cosa serve la formula della coarea?
dove area è data da: $ H^n(f(A))=int_AJ(D(f(x))dx $ dove $ J(D(f(x))):=root()(detDf^T(x)*Df(x) $ + lo jacobiano di f
e la formula della coarea: $ int_Ag(x)|Df(x)|dx=int_-oo^(+oo)(int_(Annf^-1(t))g(z)dH^(n-1)(z))dt $
a cosa serve la formula della coarea?
Risposte
"sdrabb":
a cosa serve la formula della coarea?
Da wikipedia: la formula di coarea permette di calcolare l'integrale del gradiente di una funzione in termini dell'integrale dei suoi insiemi di livello. Tale formula viene spesso utilizzata per problemi isoperimetrici
Continuo a non capire grazie della risposta ma al livello geometrico nn riesco a ottenere niente potresti spiegarmi più approfonditamente?
Vuoi sapere la teoria geometrica della misura ?
Conosci la formula di integrazione in coordinate sferiche? Formalmente è la seguente:
\[\tag{1}
\int_{\mathbb{R}^n} f\, dx_1\ldots dx_n =\int_0^\infty dr \int_{r\mathbb{S}^{n-1}}f dS.
\]
L'interpretazione geometrica è che si suddivide lo spazio \(\mathbb{R}^n\) in una infinità di superfici sferiche, si integra \(f\) su ciascuna di esse e poi si integrano tutti i risultati. Chiaramente non è che per forza ti devi limitare alle sfere: potresti voler usare degli ellissoidi, o delle superfici irregolari, o quello che vuoi. La formula di coarea ti dice come devi generalizzare \((1)\) in questo caso.
\[\tag{1}
\int_{\mathbb{R}^n} f\, dx_1\ldots dx_n =\int_0^\infty dr \int_{r\mathbb{S}^{n-1}}f dS.
\]
L'interpretazione geometrica è che si suddivide lo spazio \(\mathbb{R}^n\) in una infinità di superfici sferiche, si integra \(f\) su ciascuna di esse e poi si integrano tutti i risultati. Chiaramente non è che per forza ti devi limitare alle sfere: potresti voler usare degli ellissoidi, o delle superfici irregolari, o quello che vuoi. La formula di coarea ti dice come devi generalizzare \((1)\) in questo caso.
Iper prima cosa ti ringrazio per la risposta davvero!
Quindi se nn ho capito male è simile al teorema di fubini per gli integrali sbaglio?
Posso dunque trovare prima la lunghezza della mia curva che ad esempio descrive la base della mia figura e integrarla per l'altezza ottenendo l'area esterna della mia figura sbaglio?
Quindi se nn ho capito male è simile al teorema di fubini per gli integrali sbaglio?
Posso dunque trovare prima la lunghezza della mia curva che ad esempio descrive la base della mia figura e integrarla per l'altezza ottenendo l'area esterna della mia figura sbaglio?
Esatto, è una generalizzazione del teorema di Fubini.
(sono un nuovo utente e non so se questo mess andrà letto dato che la discussione è vecchiotta..)
Prendendo i casi in cui l'intero spazio è suddifiso in ellisoidi e in sfere, integrando f
non si ottiene esattamente lo stesso risultato ,anche se di fatto sto integrando su \( \mathcal{R}^n\). Questo perchè si ha una distorsione dovuta allo jacobiano della funzioni che descrive la sfera o l'ellissodide?? Giusto??
Prendendo i casi in cui l'intero spazio è suddifiso in ellisoidi e in sfere, integrando f
non si ottiene esattamente lo stesso risultato ,anche se di fatto sto integrando su \( \mathcal{R}^n\). Questo perchè si ha una distorsione dovuta allo jacobiano della funzioni che descrive la sfera o l'ellissodide?? Giusto??
Credo che tu abbia in mente una cosa giusta anche se ti sei espresso in modo non chiarissimo. La maniera di quantificare questa tua idea è proprio la formula di coarea, che riscriviamo qui:
\[\tag{2}
\int_{\mathbb{R}^n} g(x) \lvert \nabla f(x)\rvert \, dx = \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{f^{-1}(t)} g(y)\, dS\right)\, dt.\]
(C'è un piccolo cambio di notazioni rispetto al post originale per meglio aderire alla formula di integrazione in coordinate sferiche che ho scritto sopra). La formula (1) di integrazione in coordinate sferiche è un caso particolare della (2) e si ottiene ponendo
\[
f(x)=\lvert x \rvert,\]
per cui
\[
\lvert \nabla f(x)\rvert =1, \qquad \forall x \ne 0.\]
Ecco perché, quando si integra in coordinate sferiche, il termine \(\lvert \nabla f(x)\rvert\) nella (2) "non si vede".
\[\tag{2}
\int_{\mathbb{R}^n} g(x) \lvert \nabla f(x)\rvert \, dx = \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{f^{-1}(t)} g(y)\, dS\right)\, dt.\]
(C'è un piccolo cambio di notazioni rispetto al post originale per meglio aderire alla formula di integrazione in coordinate sferiche che ho scritto sopra). La formula (1) di integrazione in coordinate sferiche è un caso particolare della (2) e si ottiene ponendo
\[
f(x)=\lvert x \rvert,\]
per cui
\[
\lvert \nabla f(x)\rvert =1, \qquad \forall x \ne 0.\]
Ecco perché, quando si integra in coordinate sferiche, il termine \(\lvert \nabla f(x)\rvert\) nella (2) "non si vede".
Si si..era proprio quello che intendevo!
Ancora una cosa (è banale ma è da un pò che non prendo in mano queste cose): con dS esattamente cosa intendi? sarebbe l'elemento di misura m-dimensionale se \( f:\mathcal{R}^n\rightarrow\mathcal{R}^m \)? come si può descrivere?
Mi spiego: se \( S=f^{-1}(\{y\})\) per un certo y fissato (pensiamo pure alla sfera, quindi f(x)=|x|, ma anche più in generale)
Sia \( \phi:D\rightarrow S \) una parametrizzazione di S (esiste sempre? f a priori è lipshitziana), dove D è un insieme elementarmente misurabile, allora:
\[ \int_S g\:dH^{n-m}=\int_S g\:d\sigma_{n-m}:=\int_D g(\phi (u))|\bigwedge\limits_{i=1} ^{m}\phi ^{'}(u)|\:du \]
dove \[ |\bigwedge\limits_{i=1} ^{n-m}\phi ^{'}|=|\partial_1\phi\wedge ... \wedge\partial_{n-m}\phi|=(det(\phi ^{'}(u))^*(\phi ^{'}(u)))^{1/2} \]
rappresenta la misura (n-m)-dimensionale del parallelotopo formato con gli (n-m) vettori tangenti \( \partial_1\phi , ... ,\partial_{n-m}\phi \). E' corretto definire il dS o \(dH^{n-m}\) in questo modo? la parametrizzazione \( \phi \) esiste sempre?
ps: queste domande sono un pò fuori argomento
Mi spiego: se \( S=f^{-1}(\{y\})\) per un certo y fissato (pensiamo pure alla sfera, quindi f(x)=|x|, ma anche più in generale)
Sia \( \phi:D\rightarrow S \) una parametrizzazione di S (esiste sempre? f a priori è lipshitziana), dove D è un insieme elementarmente misurabile, allora:
\[ \int_S g\:dH^{n-m}=\int_S g\:d\sigma_{n-m}:=\int_D g(\phi (u))|\bigwedge\limits_{i=1} ^{m}\phi ^{'}(u)|\:du \]
dove \[ |\bigwedge\limits_{i=1} ^{n-m}\phi ^{'}|=|\partial_1\phi\wedge ... \wedge\partial_{n-m}\phi|=(det(\phi ^{'}(u))^*(\phi ^{'}(u)))^{1/2} \]
rappresenta la misura (n-m)-dimensionale del parallelotopo formato con gli (n-m) vettori tangenti \( \partial_1\phi , ... ,\partial_{n-m}\phi \). E' corretto definire il dS o \(dH^{n-m}\) in questo modo? la parametrizzazione \( \phi \) esiste sempre?
ps: queste domande sono un pò fuori argomento
Si, buh, non sono cose che conosco bene, di solito mi arrangio. Del resto capita raramente di calcolare esplicitamente un integrale di questo tipo!
So che ci sono due maniere di vedere la cosa, che poi alla fine risultano equivalenti: quella degli analisti, e quella dei geometri. Chi scrive \(dH^{k}\) sta pensando alla maniera degli analisti, che definiscono una misura su \(\mathbb{R}^n\), detta misura di Hausdorff \(k\)-dimensionale, usando concetti propri della struttura metrica di \(\mathbb{R}^n\) e poi seguendo una certa ricetta a base di inf e sup.
Chi scrive \(dS\), \(dV\), o simili sta pensando alla maniera dei geometri, che considerano la sottovarietà su cui si sta integrando come una sottovarietà Riemanniana di \(\mathbb{R}^n\), e quindi come una varietà dotata di un tensore metrico \(g\) indotto dalla metrica di \(\mathbb{R}^n\). In questo caso, se \(\xi^1\ldots \xi^k\) è un sistema di coordinate locali allora l'elemento di superficie è dato dalla formula seguente:
\[
dS=\sqrt{g}d\xi^1\ldots d\xi^k,\]
dove \(g\) indica (con un abuso di notazione standard) il determinante della matrice \((g_{ij})\) associata al tensore metrico nel sistema di coordinate scelto.
Perché scrivo tutta questa zuppa non richiesta? Perché la verità è che non sono in grado di rispondere alla domanda. Infatti, quando una parametrizzazione \(\phi\) di classe \(C^1\) esiste, allora si ha, guarda un po', la seguente formula:
\[ \sqrt{g}=\sqrt{\det \left[D\phi (D\phi)^\star\right]}, \]
cosicché la formula per il \(dS\) data usando il tensore metrico coincide esattamente con quella che dici tu. Ora tu chiedi:
Mi sa che la risposta è no, perché nel nostro caso la varietà è \(f^{-1}(y)\), e per passare da qui ad una parametrizzazione ci vorrebbe il teorema della funzione implicita, che però non è disponibile perché \(f\) è solo Lipschitziana. Del resto i geometri considerano sempre e solo varietà di classe \(C^\infty\), proprio perché non vogliono impelagarsi in questi problemi fastidiosi.
E allora come si fa? non lo so. Sicuramente la misura di Hausdorff \(k\)-dimensionale esiste sempre, a prescindere dalla regolarità di \(f\), quindi almeno siamo sicuri che la misura esiste, anche se in astratto. Forse esiste pure il tensore metrico anche se \(f\) è solo Lipschitziana, e quindi esiste anche una formula più o meno esplicita per il \(dS\), ma per averne conferma bisognerebbe spulciare qualche libro di teoria geometrica della misura come il mostruoso Federer, dove sicuramente c'è la risposta a tutte queste domande.
So che ci sono due maniere di vedere la cosa, che poi alla fine risultano equivalenti: quella degli analisti, e quella dei geometri. Chi scrive \(dH^{k}\) sta pensando alla maniera degli analisti, che definiscono una misura su \(\mathbb{R}^n\), detta misura di Hausdorff \(k\)-dimensionale, usando concetti propri della struttura metrica di \(\mathbb{R}^n\) e poi seguendo una certa ricetta a base di inf e sup.
Chi scrive \(dS\), \(dV\), o simili sta pensando alla maniera dei geometri, che considerano la sottovarietà su cui si sta integrando come una sottovarietà Riemanniana di \(\mathbb{R}^n\), e quindi come una varietà dotata di un tensore metrico \(g\) indotto dalla metrica di \(\mathbb{R}^n\). In questo caso, se \(\xi^1\ldots \xi^k\) è un sistema di coordinate locali allora l'elemento di superficie è dato dalla formula seguente:
\[
dS=\sqrt{g}d\xi^1\ldots d\xi^k,\]
dove \(g\) indica (con un abuso di notazione standard) il determinante della matrice \((g_{ij})\) associata al tensore metrico nel sistema di coordinate scelto.
Perché scrivo tutta questa zuppa non richiesta? Perché la verità è che non sono in grado di rispondere alla domanda. Infatti, quando una parametrizzazione \(\phi\) di classe \(C^1\) esiste, allora si ha, guarda un po', la seguente formula:
\[ \sqrt{g}=\sqrt{\det \left[D\phi (D\phi)^\star\right]}, \]
cosicché la formula per il \(dS\) data usando il tensore metrico coincide esattamente con quella che dici tu. Ora tu chiedi:
ma una parametrizzazione esiste sempre o no?
Mi sa che la risposta è no, perché nel nostro caso la varietà è \(f^{-1}(y)\), e per passare da qui ad una parametrizzazione ci vorrebbe il teorema della funzione implicita, che però non è disponibile perché \(f\) è solo Lipschitziana. Del resto i geometri considerano sempre e solo varietà di classe \(C^\infty\), proprio perché non vogliono impelagarsi in questi problemi fastidiosi.
E allora come si fa? non lo so. Sicuramente la misura di Hausdorff \(k\)-dimensionale esiste sempre, a prescindere dalla regolarità di \(f\), quindi almeno siamo sicuri che la misura esiste, anche se in astratto. Forse esiste pure il tensore metrico anche se \(f\) è solo Lipschitziana, e quindi esiste anche una formula più o meno esplicita per il \(dS\), ma per averne conferma bisognerebbe spulciare qualche libro di teoria geometrica della misura come il mostruoso Federer, dove sicuramente c'è la risposta a tutte queste domande.
Mi sono documentato sull' argomento.Che io sappia non esistono toremi di inversioni per funzioni lipschitziane. Ora quello che hai scritto tu è tutto corretto e dal punto di vista operativo la formula di coarea può essere esplicitamente descritta (cioè ci posso fare i conti) solo nel caso \( S \) abbia una parametrizzazione (una o più).
Domanda: ma allora a che serve la formula di coarea se \(S\) non ha parametrizzazione??
Risposta: La formula di coarea, anche se non può essere usata in modo da fare i conti, ha diversi impieghi teorici, cioè viene usato come un potente strumento per dimostrare altri risultati che non sto qui a descrivere per non andare fuori tema. Quindi non si utilizza solo per fare conti!
Domanda: ma allora a che serve la formula di coarea se \(S\) non ha parametrizzazione??
Risposta: La formula di coarea, anche se non può essere usata in modo da fare i conti, ha diversi impieghi teorici, cioè viene usato come un potente strumento per dimostrare altri risultati che non sto qui a descrivere per non andare fuori tema. Quindi non si utilizza solo per fare conti!
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