Differenza sostanziale tra misura di hausdorff e lebesgue
ciao e scusate il disturbo mi stò imbattendo nella teoria delle misure...
volevo sapere se livello geometrico avevo capito la differenza tra la misura esterna di hausdorff e la misura esterna di lebesgue...
da quello che ho intuito mi risulta che la misura di lebesgue tiene di conto anche come è fatta la struttura dell'insieme mentre la misura di hausdorff riesce solo a costruire un ricoprimento dell'insieme nn tenendo conto della sua struttura esterna.... può essere giusto al livello mentale come disegno?
grazie mille in anticpo
volevo sapere se livello geometrico avevo capito la differenza tra la misura esterna di hausdorff e la misura esterna di lebesgue...
da quello che ho intuito mi risulta che la misura di lebesgue tiene di conto anche come è fatta la struttura dell'insieme mentre la misura di hausdorff riesce solo a costruire un ricoprimento dell'insieme nn tenendo conto della sua struttura esterna.... può essere giusto al livello mentale come disegno?
grazie mille in anticpo
Risposte
Mmm, metto in ot in attesa di risposte da persone più competenti.
[ot]La teoria della misura nasce per la necessità del calcolo degli integrali multipli attraverso un metodo più furbo e funzionale dell'integrazione di Riemann, che è l'integrazione di Lebesgue.
Detto in parole povere per il calcolo dell'integrale di Lebesgue si affetta la regione di piano sottesa dal grafico di una funzione (di una variabile) per orizzontali e non per verticali; ciò rende molto più flessibile la definizione specie per le funzioni che non sono continue. C'è però lo svantaggio che tale metodo richiede di saper misurare insiemi a priori arbitrari nel dominio della funzione. Se quindi siamo in dimensione maggiore di 1 la cosa si fa molto più delicata, in quanto bisogna trovare una "funzione" che misuri gli insiemi, ovvero che restituisca la lunghezza se un insieme è una curva, la sua area se l'insieme è una superficie, il volume se l'insieme ha un'estensione tridimensionale, ecc...
Tale funzione è la misura di Hausdorff, che viene detta anche misura di Lebesgue nel caso particolare in cui la dimensione dello spazio coincide con la dimensione della misura che viene calcolata.[/ot]
[ot]La teoria della misura nasce per la necessità del calcolo degli integrali multipli attraverso un metodo più furbo e funzionale dell'integrazione di Riemann, che è l'integrazione di Lebesgue.
Detto in parole povere per il calcolo dell'integrale di Lebesgue si affetta la regione di piano sottesa dal grafico di una funzione (di una variabile) per orizzontali e non per verticali; ciò rende molto più flessibile la definizione specie per le funzioni che non sono continue. C'è però lo svantaggio che tale metodo richiede di saper misurare insiemi a priori arbitrari nel dominio della funzione. Se quindi siamo in dimensione maggiore di 1 la cosa si fa molto più delicata, in quanto bisogna trovare una "funzione" che misuri gli insiemi, ovvero che restituisca la lunghezza se un insieme è una curva, la sua area se l'insieme è una superficie, il volume se l'insieme ha un'estensione tridimensionale, ecc...
Tale funzione è la misura di Hausdorff, che viene detta anche misura di Lebesgue nel caso particolare in cui la dimensione dello spazio coincide con la dimensione della misura che viene calcolata.[/ot]
Non so se quello che sto per dire risolve i tuoi dubbi:
La misura di Lebesgue è definita come: \( \mathcal{L}^{n}(B)=\inf\{ vol(A)\:|\:A\supseteq B\} \) dove A è un multi intervallo, quindi è costruita con l'estremo inferiore del "volume-multinitervallo" tra tutti i multi intervalli che coprono B. In questo caso non mi interessa sapere come è fatto B, ma solo il volume del multinitervallo che copre "meglio" B.
La misura di Hausdorff è definta come: \( H^{n}(B)=\sup_{\delta >0}(inf\{\sum_i(\alpha(n) (\frac{dima A_i}{2})^n)\:|\: B\subseteq\bigcup_i A_i,\:\:\:diam(A_i)\leq \delta \}) \), dunque è definita come il valore assunto dalla sommatoria per il ricoprimento \( \{A_i\}_{i\in \mathbb(N)} \) più "stringente" (cioè che approssima meglio l'insieme di cui voglio calcolare la misura). Anche in questo caso non mi interessa conoscere la struttura di B (in realtà non ci sono limitazione neanche sulla struttura che gli elementi del ricoprimento devono assumere), ma a differenza della misura di Lebesgue, la misura di Hausdorff per esser definita sfrutta una nozione metrica: il diametro di un' insieme.
Di base (si può dimostrare) \( H^n=\mathcal{L}^n \) su \( \mathbb{R}^n \), ma la misura di Hausdorff generalizza la misura di Lebesgue, questo perchè "la dimensioni che la misura di Hausdorff può assumere" sono reali positive e non solo naturali come nel caso della misura di Lebesgue.
La misura di Lebesgue è definita come: \( \mathcal{L}^{n}(B)=\inf\{ vol(A)\:|\:A\supseteq B\} \) dove A è un multi intervallo, quindi è costruita con l'estremo inferiore del "volume-multinitervallo" tra tutti i multi intervalli che coprono B. In questo caso non mi interessa sapere come è fatto B, ma solo il volume del multinitervallo che copre "meglio" B.
La misura di Hausdorff è definta come: \( H^{n}(B)=\sup_{\delta >0}(inf\{\sum_i(\alpha(n) (\frac{dima A_i}{2})^n)\:|\: B\subseteq\bigcup_i A_i,\:\:\:diam(A_i)\leq \delta \}) \), dunque è definita come il valore assunto dalla sommatoria per il ricoprimento \( \{A_i\}_{i\in \mathbb(N)} \) più "stringente" (cioè che approssima meglio l'insieme di cui voglio calcolare la misura). Anche in questo caso non mi interessa conoscere la struttura di B (in realtà non ci sono limitazione neanche sulla struttura che gli elementi del ricoprimento devono assumere), ma a differenza della misura di Lebesgue, la misura di Hausdorff per esser definita sfrutta una nozione metrica: il diametro di un' insieme.
Di base (si può dimostrare) \( H^n=\mathcal{L}^n \) su \( \mathbb{R}^n \), ma la misura di Hausdorff generalizza la misura di Lebesgue, questo perchè "la dimensioni che la misura di Hausdorff può assumere" sono reali positive e non solo naturali come nel caso della misura di Lebesgue.
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