Differenza fra curve e funzioni a valori vettoriali
Salve, sono una studentessa di Ingegneria Civile al primo anno ed ho un problema con Analisi 2 (e chi non lo ha)... Non riesco a comprendere la differenza tra una funzione a valori vettoriali ed una curva. Sono scritte esattamente nello stesso modo e possono avere entrambe valori da R^n a R^m. Vi prego aiutatemi!
Risposte
Beh, no.
Una curva (parametrizzata) è una particolare funzione vettoriale, che ha per dominio un intervallo di $RR$ ed è continua.
Una curva (parametrizzata) è una particolare funzione vettoriale, che ha per dominio un intervallo di $RR$ ed è continua.
Forse intendi dire superficie, se lavori con funzioni vettoriali? Ragioniamo in dimensione 1, tanto il concetto è lo stesso. Dipende tutto da come vuoi considerare la curva: come un semplice insieme di punti o come qualcosa "di più". Cerco di spiegarmi meglio. Una curva è spesso data dall'immagine di una certa funzione con dominio (di solito) [0,1]. Se la funzione è a valori vettoriali, allora stai parlando di una superficie (almeno se sei in dimensione 2). In questo caso si ragiona come prima, nel senso che una superficie è parametrizzata da una certa funzione avente come dominio un certo sottoinsieme A (di solito un quadrato o una palla) di $\mathbb{R} ^2$. In questo senso la superficie è semplicemente l'immagine della funzione che la parametrizza, e si può in un certo senso identificare con essa. Ad esempio la circonferenza unitaria è parametrizzata da $x= \cos(2 \pi \theta) ; y= \sin(2 \pi \theta)$ per $\theta \in [0,1)$.
Supponiamo che tu voglia una funzione cartesiana, cioè se hai una curva in Oxyz, tu vuoi cercare di descriverla sulla base di una sola delle 3 dimensioni. Questo in generale non è possibile (abbiamo dovuto usare la nuova variabile $\theta$ per la circonferenza, riesci a capire perchè?), pertanto posso scegliere di rappresentare la curva non dotata di una certa parametrizzazione, ma "senza struttura", semplicemente come un insieme di punti che soddisfano una certa relazione (nel caso della circonferenza unitaria, questa sarà $x^2 + y^2 =1$). In questo caso non si parla di curva, ma di "supporto" o "sostegno", proprio per differenziare i 2 concetti. Quindi nel caso della circonferenza unitaria, la curva (con struttura) è parametrizzata dalla funzione $f: \theta \to (cos(2\pi \theta), sin(2 \pi \theta))$ con $\theta \in [0,1)$, mentre la curva "senza struttura", il suo supporto, è l'insieme $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 =1 \}$.
Supponiamo che tu voglia una funzione cartesiana, cioè se hai una curva in Oxyz, tu vuoi cercare di descriverla sulla base di una sola delle 3 dimensioni. Questo in generale non è possibile (abbiamo dovuto usare la nuova variabile $\theta$ per la circonferenza, riesci a capire perchè?), pertanto posso scegliere di rappresentare la curva non dotata di una certa parametrizzazione, ma "senza struttura", semplicemente come un insieme di punti che soddisfano una certa relazione (nel caso della circonferenza unitaria, questa sarà $x^2 + y^2 =1$). In questo caso non si parla di curva, ma di "supporto" o "sostegno", proprio per differenziare i 2 concetti. Quindi nel caso della circonferenza unitaria, la curva (con struttura) è parametrizzata dalla funzione $f: \theta \to (cos(2\pi \theta), sin(2 \pi \theta))$ con $\theta \in [0,1)$, mentre la curva "senza struttura", il suo supporto, è l'insieme $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 =1 \}$.
"gugo82":
Beh, no.
Una curva (parametrizzata) è una particolare funzione vettoriale, che ha per dominio un intervallo di $RR$ ed è continua.
Ma quindi l'una è un caso particolare dell'altra? Cioè anche la curva ha valori vettoriali?
Mamma che confusione...
"tommy1996q":
Forse intendi dire superficie, se lavori con funzioni vettoriali? Ragioniamo in dimensione 1, tanto il concetto è lo stesso. Dipende tutto da come vuoi considerare la curva: come un semplice insieme di punti o come qualcosa "di più". Cerco di spiegarmi meglio. Una curva è spesso data dall'immagine di una certa funzione con dominio (di solito) [0,1]. Se la funzione è a valori vettoriali, allora stai parlando di una superficie (almeno se sei in dimensione 2). In questo caso si ragiona come prima, nel senso che una superficie è parametrizzata da una certa funzione avente come dominio un certo sottoinsieme A (di solito un quadrato o una palla) di $\mathbb{R} ^2$. In questo senso la superficie è semplicemente l'immagine della funzione che la parametrizza, e si può in un certo senso identificare con essa. Ad esempio la circonferenza unitaria è parametrizzata da $x= \cos(2 \pi \theta) ; y= \sin(2 \pi \theta)$ per $\theta \in [0,1)$.
Supponiamo che tu voglia una funzione cartesiana, cioè se hai una curva in Oxyz, tu vuoi cercare di descriverla sulla base di una sola delle 3 dimensioni. Questo in generale non è possibile (abbiamo dovuto usare la nuova variabile $\theta$ per la circonferenza, riesci a capire perchè?), pertanto posso scegliere di rappresentare la curva non dotata di una certa parametrizzazione, ma "senza struttura", semplicemente come un insieme di punti che soddisfano una certa relazione (nel caso della circonferenza unitaria, questa sarà $x^2 + y^2 =1$). In questo caso non si parla di curva, ma di "supporto" o "sostegno", proprio per differenziare i 2 concetti. Quindi nel caso della circonferenza unitaria, la curva (con struttura) è parametrizzata dalla funzione $f: \theta \to (cos(2\pi \theta), sin(2 \pi \theta))$ con $\theta \in [0,1)$, mentre la curva "senza struttura", il suo supporto, è l'insieme $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 =1 \}$.
La differenza fra sostegno e funzione parametrizzata mi è finalmente chiara, grazie!! Purtroppo intendo proprio funzioni a valori vettoriali, perchè i campi e le superfici sono un altro argomento... Capisco l'uso di teta come parametro, ma non capisco perchè il dominio è limitato a [0,1]... A questo punto posso considerare una curva come un insieme di punti, mentre una funzione a valori vettoriali (lasciami passare il termine) "un'insieme di vettori" ? Grazie della pazienza...
"Marghdf":
[quote="gugo82"]Beh, no.
Una curva (parametrizzata) è una particolare funzione vettoriale, che ha per dominio un intervallo di $RR$ ed è continua.
Ma quindi l'una è un caso particolare dell'altra? Cioè anche la curva ha valori vettoriali?
Mamma che confusione...[/quote]
Basta rifarsi alle definizioni:
Si chiama curva del piano ogni applicazione continua definita in un intervallo $I\subseteq RR$ ed a valori in $RR^2$, cioè ogni $f:I->RR^2$ continua.
Analogamente, si chiama curva dello spazio ogni applicazione continua definita in un intervallo $I\subseteq RR$ ed a valori in $RR^3$, cioè ogni $f:I->RR^3$ continua.
Si chiama funzione vettoriale ogni applicazione definita in un insieme $A\subseteq RR^n$ a valori in $RR^m$, cioè $f:A->RR^m$
Quindi, se $n=1$, $A=I$ intervallo ed $m=2$ (e se $f$ è continua) ottieni una curva del piano, mentre se $m=3$ una curva dello spazio.
Allora una curva (sia del piano che dello spazio) è un caso particolare di una funzione a valori vettoriali! (se ho capito bene..)
Grazie mille della pazienza!
Grazie mille della pazienza!
"Marghdf":
Allora una curva (sia del piano che dello spazio) è un caso particolare di una funzione a valori vettoriali! (se ho capito bene..)
Grazie mille della pazienza!
Beh, è proprio quello che avevo scritto nella prima risposta...
Scusa... Sono un po' lenta 
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